অনুক্রম (Sequence)
অনুক্রম হলো একটি সংখ্যা বা বস্তুগুলির সজ্জিত তালিকা, যেখানে প্রতিটি উপাদান একটি নির্দিষ্ট নিয়ম বা শর্ত অনুসরণ করে।
উদাহরণ: {2,4,6,8,10}
সসীম অনুক্রম (Finite Sequence)
যে অনুক্রমের পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট বা একটি নির্দিষ্ট শেষ উপাদান রয়েছে তাকে সসীম অনুক্রম বলে।
উদাহরণ: {1,3,5,7} এটি একটি সসীম অনুক্রম যেখানে ৭ শেষ উপাদান।
অসীম অনুক্রম (Infinite Sequence)
যে অনুক্রমের কোনো শেষ নেই, যা অসীম সংখ্যক উপাদান নিয়ে গঠিত বা পদ সংখ্যা অনির্দিষ্ট, তাকে অসীম অনুক্রম বলে।
উদাহরণ: {1,2,3,4,5,6,…} এটি একটি অসীম অনুক্রম যা অবিরত চলতে থাকে।
সসীম অনুক্রম
সসীম সমান্তর (Arithmetic Sequence)
একটি সসীম সমান্তর অনুক্রমে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায়।
উদাহরণ: {3,6,9,12,15}, এখানে প্রতিটি উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানে ৩ যোগ করে পাওয়া গেছে।
সসীম গুণোত্তর (Geometric Sequence)
একটি সসীম গুণোত্তর অনুক্রমে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়।
উদাহরণ: {2,6,18,54}, এখানে প্রতিটি উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানকে ৩ দ্বারা গুণ করে পাওয়া গেছে।
অসীম অনুক্রম
অসীম সমান্তর (Arithmetic Sequence)
একটি অসীম সমান্তর অনুক্রমে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায়, এবং এটি অবিরত চলতে থাকে।
উদাহরণ: {1,4,7,10,13,…}, এখানে প্রতিটি উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানে ৩ যোগ করে পাওয়া গেছে এবং এটি অবিরত চলবে।
অসীম গুণোত্তর (Geometric Sequence)
একটি অসীম গুণোত্তর অনুক্রমে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়, এবং এটি অবিরত চলতে থাকে।
উদাহরণ: {5,10,20,40,80,…}, এখানে প্রতিটি উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানকে ২ দ্বারা গুণ করে পাওয়া গেছে এবং এটি অবিরত চলবে।
সমান্তর (Arithmetic Sequence)
একটি সমান্তর অনুক্রমের ক্ষেত্রে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (যাকে পার্থক্য d বলা হয়) যোগ করে পাওয়া যায়।
Formula:
nতম পদ নির্ণয়- an = a + (n - 1)d যেখানে,
an = n-তম উপাদান
a = প্রথম উপাদান
d = পার্থক্য
n = উপাদান সংখ্যা
উদাহরণ (Finite Sequence): {3,6,9,12,15}
a = 3, d = 3
a5 = 3 + (5 - 1)⋅3 = 15
উদাহরণ (Infinite Sequence): {1,4,7,10,13,…}
a = 1, d = 3
an = 1 + (n - 1)⋅3 = 3n-2
গুণোত্তর (Geometric Sequence)
একটি গুণোত্তর অনুক্রমের ক্ষেত্রে প্রতিটি পরবর্তী উপাদান পূর্ববর্তী উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (যাকে অনুপাত r বলা হয়) দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়।
Formula:
nতম পদ নির্ণয়- an = a⋅rn-1 যেখানে,
an = n-তম পদ
a = প্রথম উপাদান
r = অনুপাত
n = উপাদান সংখ্যা
উদাহরণ (Finite Sequence): {2,6,18,54}
a = 2, r = 3
a4 = 2⋅34-1 = 54
উদাহরণ (Infinite Sequence): {5,10,20,40,80,…}
a = 5, r = 2
an = 5⋅2n-1
সসীম অনুক্রমের (Finite Sequence) সমষ্টি
Formula: সমান্তর অনুক্রমের সমষ্টি (Sum of Finite Arithmetic Sequence)
Sn = n2{2a + (n - 1)d}
উদাহরণ: {3,6,9,12,15}
a = 3, d = 3, n = 5
S5 = 52{2⋅3 + (5 - 1)⋅3} = 52 ✕ 18 = 45
Formula: গুণোত্তর অনুক্রমের সমষ্টি (Sum of Finite Geometric Sequence)
Sn = a 1- rn1 - r
(যদি r = 1)
উদাহরণ: {2,6,18,54}
a = 2, r = 3, n = 4
S4 = 2. 1 - 341 - 3 = 2 ✕ 1 - 81 -2 = 2 ✕ -40 -2 = 80
অসীম অনুক্রমের (Infinite Sequence) সমষ্টি
গুণোত্তর অনুক্রমের সমষ্টি (Sum of Infinite Geometric Sequence)
যদি ∣r∣＜1, তাহলে অসীম গুণোত্তর অনুক্রমের সমষ্টি: S = a1 - r
উদাহরণ: {1,21,41,81,…}
a = 1, r = 1 2
S = 1 ÷ (1 - 1 2) = 1 ✕ 2 = 2
ফিবোনাচ্চি ক্রম (Fibonacci Sequence)
এই ক্রমটি লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি নামে একজন ইতালীয় গণিতবিদের নামে নামকরণ করা হয়েছে। ফিবোনাচ্চি ক্রমের সংখ্যা গুলোর মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক আছে: প্রতিটি সংখ্যা তার আগের দুটি সংখ্যার যোগফল। যার প্রথম দুটি সংখ্যা 0 এবং 1। প্রথম সংখ্যা হলো 0, দ্বিতীয় সংখ্যা হলো 1 এবং পরবর্তী সংখ্যা পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফল।
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ইত্যাদি।
প্রথম সংখ্যা হলো 0 এবং দ্বিতীয় সংখ্যা হলো 1 - সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে 0 + 1 = 1
তৃতীয় সংখ্যা হলো 1 এবং চতুর্থ সংখ্যা হলো 1 - সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে 1 + 1 = 2
পঞ্চম সংখ্যা হলো 2 এবং ষষ্ঠ সংখ্যা হলো 3 - সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে 2 + 3 = 5
সপ্তম সংখ্যা হলো 8 এবং অষ্টম সংখ্যা হলো 13 - সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যা হবে 8 + 13 = 21 এবং এরপর যথাক্রমে চলতে থাকবে।
ফিবোনাচ্চি ক্রম প্রকৃতিতে এবং অন্যান্য বিভিন্ন ক্ষেত্রে পাওয়া যায়, যেমন বীজের বিন্যাস, ফুলের পাপড়ির সংখ্যা, এবং অনেক জ্যামিতিক গঠন।
ধারা (Series)
হলো এমন একটি গাণিতিক ক্রম যেখানে পদগুলি নির্দিষ্ট নিয়মে বিন্যস্ত থাকে এবং সেই পদগুলির যোগফল হিসাব করা হয়। যেমন- 2 + 4 + 6 + 8 + …
সসীম ধারা (Finite Series)
সসীম ধারা হলো এমন একটি ধারা যার পদগুলির সংখ্যা নির্দিষ্ট। উদাহরণস্বরূপ: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 এখানে 1 থেকে 5 পর্যন্ত পদ রয়েছে, এবং এটি একটি সসীম ধারা।
অসীম ধারা (Infinite Series)
অসীম ধারা হলো এমন একটি ধারা যার পদগুলির সংখ্যা অসীম, অর্থাৎ এটি শেষ হয় না। উদাহরণস্বরূপ: 1 + 2 + 3 + 4 + ….. এখানে পদগুলি অসীম সংখ্যা পর্যন্ত চলতে থাকে।
সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)
সমান্তর ধারা (Arithmetic Series) হলো একটি গাণিতিক ক্রম যেখানে প্রতিটি পদ আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট পার্থক্য যোগ করে পাওয়া যায়। এই নির্দিষ্ট পার্থক্যকে সাধারণ অন্তর (common difference) বলা হয়। সমান্তর ধারায় প্রতিটি পদ সমান অনুপাতে বৃদ্ধি পায়।
সমান্তর ধারার গঠন
ধরা যাক, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারার পরবর্তী পদগুলি হবে: a, a + d, a + 2d, a + 3d,…
Formula: যদি n সংখ্যক পদ থাকে, তাহলে n-তম পদ হবে:
an = a + (n - 1)d
Formula: সমান্তর ধারার সমষ্টি
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn হিসাব করার জন্য আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করতে পারি:
Sn = n2{2a + (n - 1)d}
এটি ভিন্নভাবে লেখাও যায়:
Sn = n2(a + l) যেখানে l হলো n-তম পদ বা শেষ পদ।
গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)
গুণোত্তর ধারা (Geometric Series) হলো এমন একটি ধারা যেখানে প্রতিটি পদ আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট অনুপাত (common ratio) গুণ করে পাওয়া যায়। গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পদ ধারাবাহিকভাবে গুণ করা হয় একটি স্থির সংখ্যার সাথে।
ধরা যাক, একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r। তাহলে ধারার পদগুলি হবে: a,ar,ar2,ar3,….
Formula:
যদি n সংখ্যক পদ থাকে, তাহলে n-তম পদ হবে: an = arn-1
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn এর সূত্র:
Sn = a 1 - rn1 - r
যেখানে a হলো প্রথম পদ, r হলো সাধারণ অনুপাত, এবং n হলো পদ সংখ্যা।
Formula: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি (Sum of Infinite Geometric Series)
যদি গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত ∣r∣＜1 হয়, তাহলে সেই ধারার অসীম সংখ্যক পদের সমষ্টি S এর সূত্র: S = a 1 - r
উদাহরণ
ধরা যাক, একটি গুণোত্তর ধারা শুরু হয়েছে 2 থেকে এবং সাধারণ অনুপাত হলো 3: 2,6,18,54,….
প্রথম পাঁচটি সংখ্যক পদের সমষ্টি: S5 = 2.1 - 351 - 3 = 2. 1 - 243 -2 = 242
অসীম সংখ্যক পদের সমষ্টি যদি ∣r∣＜1 হয়: ধরা যাক, সাধারণ অনুপাত r = 12
এবং প্রথম পদ a = 1;
S = 11 - 1 2 = 1 ÷ 0.5 = 2
সাধারণ অন্তর (Common Difference)
সমান্তর ধারার দুটি পরপর পদের মধ্যে পার্থক্যকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 2,5,8 ধারায় সাধারণ অন্তর d = 3
সাধারণ অনুপাত (Common Ratio)
গুণোত্তর ধারার দুটি পরপর পদের মধ্যে অনুপাতকে সাধারণ অনুপাত বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 3,9,27 ধারায় সাধারণ অনুপাত r = 3
No comments:
Post a Comment