Solution:
12 সেমি লম্বা কোণকাকৃতি একটি গাজরের বোঁটার দিকে ভূমির ব্যাস 2.5 সেমি। গাজরটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
গাজরের উচ্চতা, h = 12 সেমি
গাজরের বোঁটার দিকে ভূমির ব্যাস 2.5 সেমি,
অতএব, ব্যাসার্ধ, r = 2.5 2 = 1.5 সেমি
গাজরটি কোণকাকৃতির
কোণকের আয়তন = 1 3 πr2h ঘনএকক
গাজরটির আয়তন = 1 3 πr2h ঘনসেমি [এখানে, π = 3.1416]
Solution:
(i) ঘনবস্তুটির বক্রতল রং করতে মোট কত টাকা খরচ হবে তা নির্ণয় করতে হবে-
দেখা যাচ্ছে সড়কে ব্যবহৃত নিরেট ঘনবস্তুটি কোণক আকৃতির।
দেওয়া আছে,
কোণক আকৃতির ঘনবস্তুটির ভূমির ক্ষেত্রফল, πr2 = 1256.64 বর্গসেমি [আমরা জানি, কোণকের ভূমির ক্ষেত্রফল= πr2 বর্গ একক, এখানে, r = ভূমির ব্যাসার্ধ]
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = 26 সেমি
এখন,
πr2 = 1256.64
আমরা জানি,
কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক
যেহেতু ঘনবস্তুটি কোণক আকৃতির সেহেতু ঘনবস্তুটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল,
= πrl
ঘনবস্তুটির বক্রতল রং করতে,
1বর্গ সেন্টিমিটারে খরচ হয় 1.50 টাকা
1633.632 বর্গ সেন্টিমিটারে খরচ হয় (1.50 ✕ 1633.632) টাকা = 2450.448 টাকা।
সুতরাং, ঘনবস্তুটির বক্রতল রং করতে খরচ হয় 2450.45 টাকা। (Answer)
(ii) ঘনবস্তুটিতে কতটুকু প্লাষ্টিক আছে তা নির্ণয় করতে হবে-
দেখা যাচ্ছে সড়কে ব্যবহৃত নিরেট ঘনবস্তুটি কোণক আকৃতির।
ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 20 সেমি [(i) নং সমাধান থেকে পাই]
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = 26 সেমি
কোণকের মধ্যকার সমকোণী এিভুজ-এ,
l2 = h2 + r2 [এখানে, l = হেলানো উচ্চতা, h = উচ্চতা, r = ভূমির ব্যাসার্ধ]
আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = 1 3 πr2h ঘনএকক
যেহেতু ঘনবস্তুটি কোণক আকৃতির সেহেতু ঘনবস্তুটির আয়তন,
= 1 3 πr2h
সুতরাং, ঘনবস্তুটিতে প্লাস্টিকের পরিমান আছে 6958.957 ঘনসেমি (প্রায়)
Solution:
6 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকটিকে গলিয়ে 7 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, ফাঁপা গোলকের প্লাস্টিকের পূরুত্ব নির্ণয় করতে হবে-
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = 4 3 πr3 ঘনএকক; এখানে, r = গোলকের ব্যাসার্ধ।
এখন, গোলকের আয়তন (6 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট)
= 4 3 ✕ 3.1416 ✕ 63 ঘনসেমি
এবং, গোলকের আয়তন ( 7 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট)
= 4 3 ✕ 3.1416 ✕ 73 ঘনসেমি
এবার, 6 সেমি ব্যাসার্ধের গোলক দিয়েই 7 সেমি ব্যাসার্ধের গোলক তৈরি করা হয়েছে, তাই 7 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকটি ফাঁপা-
7 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন
= 1436.7584 ঘনসেমি – 904.7808 ঘনসেমি
= 531.9776 ঘনসেমি।
এখন 7 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের ফাঁপা অংশের আয়তন থেকে ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ r নির্ণয় করি,
4 3 πr3 = 531.9776
7 সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের পুরুত্ব
Solution:
চারটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ 3 সেমি, 8 সেমি, 13 সেমি ও r সেমি। গোলক চারটিকে গলিয়ে 14 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নতুন আরেকটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলে r এর মান নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
চারটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ 3 সেমি, 8 সেমি, 13 সেমি ও r সেমি।
গোলক চারটিকে গলিয়ে 14 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নতুন আরেকটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো
আমরা জানি, গোলকের আয়তন = 4 3 πr3 ঘনএকক [ব্যাসার্ধ r]
এখন, শর্তমতে,
চারটি নিরেট গোলকের আয়তন = চারটি গোলক দ্বারা তৈরি নতুন একটি গোলকের আয়তন
Solution:
দেওয়া আছে, অ্যাকুরিয়ামের,
ভূমির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 25 সেমি
উচ্চতা, h = 1 মিটার = 100 সেমি
সুষম সপ্তভুজাকার প্রিজম আকৃতির, n = 7
আমরা জানি,
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 ✕ (ভুমির ক্ষেত্রফল) + সকল পার্শ্বতলগুলোর ক্ষেত্রফল
অ্যাকুরিয়ামটির (প্রিজমের) সকল পার্শ্বতলগুলোর ক্ষেত্রফল = (na ✕ h) বর্গসেমি
= (na ✕ h) বর্গসেমি [মান বসিয়ে]
= 7 ✕ 25 ✕ 100 বর্গসেমি
= 17500 বর্গসেমি।
এখন,
অ্যাকুরিয়ামটির 1 বর্গসেমি পার্শ্বতল কাচ দ্বারা আবৃত করতে খরচ হয় 2 টাকা
17500 বর্গসেমি পার্শ্বতল কাচ দ্বারা আবৃত করতে খরচ হয় (2 ✕ 17500) টাকা = 35000 টাকা।
আবার, আমরা জানি,
প্রিজমের আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = (na2 4) cot(180° n) [n সংখ্যক a দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ]
অ্যাকুরিয়ামটির আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
এখন অ্যাকুরিয়ামটির এক তৃতীয়াংশ আয়তন
= 1 3 ✕ 91574.5936 ঘনসেমি।
= 30521.812 ঘনসেমি।
এখন,
1000 ঘনসেমি পূর্ণ করতে পানি লাগে 1 লিটার
1 ঘনসেমি পূর্ণ করতে পানি লাগে 11000 লিটার
30521.812 ঘনসেমি পূর্ণ করতে পানি লাগে ( 11000 ✕ 30521.812) লিটার = 30.5218 লিটার।
Solution:
(i) প্রিজমটির ভূমিদ্বয়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
চিত্র হতে পাই,
প্রিজমটির বাহুর সংখ্যা n = 8 টি
ভূমির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সেমি
আমরা জানি,
প্রিজমটির ভূমির ক্ষেত্রফল = ( na2 4) cot(180° n)
প্রিজমটির ভূমিদ্বয়ের ক্ষেত্রফল
সুতরাং, প্রিজমটির ভূমিদ্বয়ের ক্ষেত্রফল 241.421356 বর্গসেমি (প্রায়)। (Answer)
(ii) প্রিজমটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
প্রিজমটির পার্শ্বতলগুলো বর্গাকার, অতএব, পার্শ্বতলের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সেমি।
এবং প্রিজমটির উচ্চতা h = 5 সেমি।
প্রিজমটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = nah বর্গসেমি
= nah বর্গসেমি
সুতরাং, প্রিজমটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 200 বর্গসেমি। (Answer)
(iii) প্রিজমটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
প্রিজমটির আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
সুতরাং, প্রিজমটির আয়তন 603.55339 ঘনসেমি (প্রায়)। (Answer)
Solution:
(i) তাবুটির ধারের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
দেওয়া আছে,
তাবুটির বর্গাকৃতি ভূমির দৈর্ঘ্য, a = 8√ 2 মিটার।
মাঝখানে খুঁটির উচ্চতা, h = √ 66 মিটার।
তাবুটির ধারের দৈর্ঘ্য = ?
খুঁটিটি বর্গাকৃতি ভূমির কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে বা যেকোণ কর্ণের মাঝ বিন্দুতে অবস্থান করছে।
আমরা জানি,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√ 2 [এখানে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a]
তাহলে, প্রদত্ত বর্গাকৃতি ভূমির কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√ 2 .√ 2 মিটার = 16 মিটার।
এবং, কর্ণের অর্ধাংশের দৈর্ঘ্য = 16 2 মিটার = 8 মিটার।
নিন্মোক্ত চিত্রটি লক্ষ্য করি-
মাঝখানে খুঁটির উচ্চতা, AB = h = √ 66 মিটার।
ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য যা কর্ণের অর্ধেক, BC = 8 মিটার
অতিভুজটি হলো তাবুটির ধারের দৈর্ঘ্য, AC
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC2 = AB2 + BC2
বা, AC2 = (√ 66 )2 + (8)2
বা, AC2 = 66 + 16
বা, AC2 = 82
বা, AC = √ 82
বা, AC = 9.0554 মিটার
সুতরাং, তাবুটির ধারের দৈর্ঘ্য 9.0554 মিটার (Answer)
(ii) প্রতি বর্গমিটার 200 টাকা হিসাবে নির্ণয় করতে হবে-টাকার কাপড় কিনতে হয়েছে-
নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করি,
হেলানো উচ্চতা, AD = S মিটার
তাবুটির ধারের দৈর্ঘ্য এ ত্রিভুজটির অতিভুজ, AC = √ 82 মিটার
ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য তাবুটির ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধেক, DC = 1 2 ✕ 8√ 2
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC2 = AD2 + DC2
এখন, তাবুটির আকৃতিক গঠন পিরামিডের অনুরূপ
এখন,
1 বর্গমিটারের জন্য কাপড় কিনতে হয়েছে 200 টাকা
160 বর্গমিটারের জন্য কাপড় কিনতে হয়েছে (200 ✕160) টাকা = 32000 টাকা
(iii) তাবুটির মধ্যে কতটুকু বায়ুপূর্ণ ফাঁকা জায়গা পাওয়া গেছে তা নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = ( 1 3 ✕ ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা) ঘনএকক
তাবুটির আয়তন
Solution:
(i) পিরামিডটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
দেওয়া আছে,
পিরামিডের ধার, = 67 মিটার
ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 মিটার
যেহেতু পিরামিডটির ভূমি বর্গাকৃতির সেহেতু এর উচ্চতা রেখার নিন্ম বিন্দুর অবস্থান ভুমির কর্ণের দৈর্ঘ্যের মধ্যবর্তী বিন্দুতে পাওয়া যাবে।
এবার নিচের চিত্রটি লক্ষ করি,
এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে-
বর্গাকৃতি ভূমির অর্ধেক কর্ণের দৈর্ঘ্য বা ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, BC = 3√ 2 মিটার
পিরামিডটির উচ্চতা বা ত্রিভুজের উচ্চতা, AB = ?
এখন, পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC2 = AB2 + BC2
বা, AB2 = AC2 - BC2
বা, AB2 = 672 - (3√ 2 )2
বা, AB2 = 4489 - 9 ✕ 2
বা, AB2 = 4489 - 18
বা, AB2 = 4471
বা, AB2 = √ 4471
বা, AB = 66.8655 মিটার।
সুতরাং, পিরামিডটির উচ্চতা 66.8655 মিটার।
(ii) পিরামিডটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
নিচের চিত্রটি লক্ষ করি,
এখানে, ADC সমকোণী ত্রিভুজে-
পিরামিডের ধার বা ত্রিভুজটির অতিভুজ, AC = 67 মিটার
পিরামিডের ভূমির দৈর্ঘ্যের অর্ধাংশ বা ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, BC = 6 2 মিটার = 3 মিটার
ধরি, পিরামিডটির হেলানো উচ্চতা বা ত্রিভুজটির উচ্চতা, AD = S মিটার
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AC2 = AD2 + DC2
বা, AD2 = AC2 - DC2
বা, S2 = 672 - 32
বা, S2 = 4489 - 9
বা, S = √ 4480
বা, S = 66.9328 মিটার
আমরা জানি,
পিরামিডের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
সুতরাং, পিরামিডটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 839.1936 বর্গমিটার (প্রায়)। (Answer)
(iii) পিরামিডটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে।
(i) নং প্রশ্নের উওর থেকে পাই,
পিরামিডের উচ্চতা = 66.8655 মিটার।
বর্গাকৃতি ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 মিটার
পিরামিডটির আয়তন
সুতরাং, পিরামিডটির আয়তন 802.386 ঘনমিটার। (Answer)
Solution:
(i) ঘনবস্তুটির নিম্নাংশের বক্রতল রং করতে খরচ হবে-
চিত্র অনুযায়ী ঘনবস্তুটির নিন্মের অংশটিকে সিলিন্ডার বা বেলন এর অনুরূপ।
দেওয়া আছে, সিলিন্ডার এর ব্যাস = 4 মিটার
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 2 মিটার = 2 মিটার
এবং সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 5 মিটার
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh বর্গমিটার
= 2 ✕ 3.1416 ✕ 2 ✕ 5 বর্গমিটার [π=3.1416]
= 62.832 বর্গমিটার
এখন,
বক্রতল রং করতে 1 বর্গমিটারে খরচ হয় 450 টাকা
বক্রতল রং করতে 62.832 বর্গমিটারে খরচ হয় (450 ✕ 62.832) টাকা
= 28274.4 টাকা।
(ii) ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে-
ঘনবস্তুটি একটি কোণক ও একটি সিলিন্ডারের সমন্ময়ে গঠিত যেখানে সিলিন্ডারের পরিসীমা ও কোণকের ভূমি একই।
সিলিন্ডারের ভুমির ব্যাসার্ধ বা কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 মিটার
দেওয়া আছে,
কোণকের হেলানো উচ্চতা, l = 3 মিটার
এখানে,
ঘনবস্তুটির ক্ষেত্রফল
= কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল [যেহেতু, কোণকের ভূমি সিলিন্ডারের মাঝে যুক্ত তাই এর ক্ষেত্রফল হিসাবের দরকার নাই]
সুতরাং, ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 94.248 বর্গমিটার। (Answer)
(iii) ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
সিলিন্ডারের ক্ষেত্রে,
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 2 মিটার
উচ্চতা h = 5 মিটার
কোণকের ক্ষেত্রে,
ভূমির ব্যাসার্ধ r = 2 মিটার
হেলানো উচ্চতা l = 3 মিটার
l2 = h12 + r2
ঘনবস্তুটির আয়তন
= বেলনের আয়তন + কোণকের আয়তন
সুতরাং, ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় 72.19844 ঘনমিটার। (Answer)
Solution:
(i) ঘনবস্তুটির নিম্নাংশের চতুর্দিকে লোহার পাত লাগাতে প্রতি বর্গমিটারে 2250 টাকা খরচ হলে মোট নির্ণয় করতে হবে-টাকা লাগবে-
দেওয়া আছে, যৌগিক ঘনবস্তুটি নিম্নাংশে,
আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য = 6 মিটার
আয়তাকার ঘনবস্তুটির প্রস্থ = 4 মিটার ও
আয়তাকার ঘনবস্তুটির উচ্চতা = 7 মিটার।
আয়তাকার ঘনবস্তুটির চারটি পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= ভূমির পরিসীমা ✕ উচ্চতা
= 2(6 + 4) ✕ 7
= 20 ✕ 7
= 140 বর্গমিটার
এখন,
ঘনবস্তুটির নিম্নাংশের চতুর্দিকে লোহার পাত লাগাতে,
1 বর্গমিটারে খরচ হয় 2250 টাকা
140 বর্গমিটারে খরচ হয় (2250 ✕ 140) টাকা
= 315000 টাকা।
(ii) ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে, যৌগিক ঘনবস্তুটি উপরের অংশটি একটি বিষম পিরামিড, এতে বিপরীতমুখী দুই ধরনের ত্রিভুজ আছে যার
একটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 4 মিটার এবং অন্যটির ভূমির দৈর্ঘ্য = 6 মিটার।
প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = 7.5 মিটার;
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b 4 √ (4a2 - b2) [যেখানে, a সমদ্বিবাহু ও b ভূমি বা বিষমবাহু]
পিরামিডের 6 মিটার ভূমি বিশিষ্ট দুইটি বিপরীতমুখী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
আবার
পিরামিডের 4 মিটার ভূমি বিশিষ্ট দুইটি বিপরীতমুখী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
পিরামিডের ভূমির ক্ষেত্রফল
= (6 ✕ 4) বর্গমিটার
= 24 বর্গমিটার
ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল
= (28.914 + 41.243 + 24) বর্গমিটার
= 94.159 বর্গমিটার (প্রায়)
সুতরাং, ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল 94.159। (Answer)
(iii) ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
ঘনবস্তুটির আয়তন = বিষম পিরামিডের আয়তন + প্রিজমের আয়তন
এখন, পিরামিডের আয়তন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, সমান ধারবিশিষ্ট পিরামিডের শীর্ষ থেকে ভূমিতে লম্ব আকলে তা ভূমির কর্ণের মধ্যবিন্দুতে পতিত হবে। নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করিঃ -
পিরামিডের ভূমির কর্ণের দৈর্ঘ্য = √ 62 + 42 = √ 36 + 16 = √ 52 = √ 4 ✕ 13 = 2√ 13 মিটার।
চিত্র অনুসারে,
BC = √ 13 মিটার;
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
AB2 = AC2 – BC2
বা, AB2 = (7.5)2 – (√ 13 )2
বা, AB2 = 43.25
বা, AB = √ 43.25
বা, AB = 6.5765 মিটার
বিষম পিরামিডটির আয়তন
= 1 3 ✕ ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
এবং,
প্রিজমটির আয়তন
= ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
= (6 ✕ 4 ✕ 7) ঘনমিটার
= 168 ঘনমিটার
যৌগিক ঘনবস্তুটির আয়তন = (78.918 + 168) ঘনমিটার = 220.611 ঘনমিটার।
সুতরাং, যৌগিক ঘনবস্তুটির আয়তন 220.611 ঘনমিটার। (Answer)
Solution:
(i) ঘনবস্তুটির উপরের অংশ অর্ধগোলাকার হলে ঘনবস্তুটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
অর্ধগোলাকারের উচ্চতা = ব্যাসার্ধ = 10 সেমি।
(যেহেতু ঘনবস্তুটি অর্ধগোলাকার সেহেতু এর ব্যাসার্ধ এই অর্ধগোলাকারের উচ্চতা হবে।)
এবং ঘনবস্তুটির নিন্মাংশের উচ্চতা = 16 সেমি।
তাহলে,
ঘনবস্তুটির উচ্চতা = 10 + 16 সেমি = 26 সেমি।
সুতরাং, ঘনবস্তুটির উচ্চতা 26 সেমি। (Answer)
(ii) ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
ঘনবস্তুটির উপরের অংশটি একটি অর্ধগোলক যার ব্যাসার্ধ, r = 10 সেমি
নির্ণয় করতে হবে-
ঘনবস্তুটির উপরের অর্ধগোলক অংশের ক্ষেত্রফল = অর্ধগোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল + অর্ধগোলকের ভূমির ক্ষেত্রফল
আমরা জানি,
গোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
অতএব, অর্ধগোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr2 বর্গসেমি
= (2 ✕ 3.1416 ✕ 102) বর্গসেমি
= (2 ✕ 3.1416 ✕ 100) বর্গসেমি
= 628.32 বর্গসেমি
আবার,
অর্ধগোলকের ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গসেমি
= (3.1416 ✕ 102) বর্গসেমি
= (3.1416 ✕ 100) বর্গসেমি
= 314.16 বর্গসেমি
অর্ধগোলকের ক্ষেত্রফল = (628.32 + 314.16) বর্গসেমি = 942.48 বর্গসেমি.
সুতরাং, অর্ধগোলকের ক্ষেত্রফল 942.48 বর্গসেমি। (Answer)
(iii) ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
ঘনবস্তুটির নিন্মাংশের বা সিলিন্ডারের উচ্চতা = 16 সেমি।
ঘনবস্তুটির নিন্মাংশের বা সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ = 10 সেমি
ঘনবস্তুটির উপরের অংশ বা অর্ধগোলাকারের উচ্চতা = ব্যাসার্ধ = 10 সেমি।
ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= অর্ধগোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল + সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + বৃত্তাকার ভূমির ক্ষেত্রফল
সুতরাং, ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1947.792 বর্গসেমি। (Answer)
(iv) ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
ঘনবস্তুটির আয়তন = অর্ধগোলকটির আয়তন + সিলিন্ডারটির আয়তন
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = 4 3 πr3 ঘনএকক।
অর্ধগোলকের আয়তন = 4 6 πr3 ঘনএকক।
এবং,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h ঘনএকক।
ঘনবস্তুটির আয়তন
= (46 πr3 + πr2h) ঘনএকক
সুতরাং, ঘনবস্তুটির আয়তন 7120.96 ঘনসেমি। (Answer)
Solution:
(i) ঘনবস্তুটির হেলানো তলের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
ঘনবস্তুটির উপরের অংশ কোণক আকৃতির যার
উচ্চতা, h = 10 cm;
ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
এবং এর হেলানো উচ্চতা, l হলে
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
l2 = h2 + r2
বা, l2 = 102 + 102
বা, l2 = 200
বা, l = √ 200
বা, l = 14.1421 সেমি [প্রায়]
সুতরাং, ঘনবস্তুটির হেলানো তলের দৈর্ঘ্য 14.1421 সেমি [প্রায়]। (Answer)
(ii) ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
ঘনবস্তুটির উপরের অংশ কোণক আকৃতির যার
উচ্চতা, h = 10 cm;
ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
এবং এর হেলানো উচ্চতা, l = 14.1421 সেমি [প্রায়] [ (i) নং সমাধান হতে পাই]
ঘনবস্তুটির উপরের অংশ কোণক আকৃতির যার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
সুতরাং, ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল 758.4493 বর্গসেমি (প্রায়)
(iii) ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
অর্ধগোলক ব্যাসার্ধ এবং কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
কোণকের হেলানো উচ্চতা, l = 14.142 সেমি [প্রায়] [(i) নং সমাধান হতে পাই]
ঘনবস্তুটিতে দুই ধরণের আকৃতি রয়েছে যা নিচের অংশ অর্ধগোলক আকৃতি এবং উপরের অংশ কোণক আকৃতির।
ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অর্ধগোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
সুতরাং, ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1072.609 বর্গসেমি (প্রায়)
(iv) ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
দেওয়া আছে,
অর্ধগোলক ব্যাসার্ধ এবং কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10 cm
কোণকের হেলানো উচ্চতা, l = 14.142 সেমি [প্রায়] [ (i) নং সমাধান হতে পাই]
ঘনবস্তুটিতে দুই ধরণের আকৃতি রয়েছে যা নিচের অংশ অর্ধগোলক আকৃতি এবং উপরের অংশ কোণক আকৃতির।
ঘনবস্তুটির আয়তন
সুতরাং, ঘনবস্তুটির আয়তন 3141.5895 ঘনসেমি (Answer)
Solution:
(i) ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
চিত্র হতে পাই,
ঘনবস্তুটি তিনটি আকৃতি দ্বারা গঠিত, এগুলো হলো নিচেরটি অর্ধগোলক, মাঝেরটি সিলিন্ডার এবং উপরেরটি কোণক। এখানে, অর্ধগোলক, সিলিন্ডার এবং কোণকের ব্যাসার্ধ একই, r = 5 একক
উপরের কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 5 একক
উপরের কোণকে উচ্চতা, h1 = 12 একক
উপরের কোণকে হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l হলে
ঘনবস্তুটির উপরের অংশ কোণক আকৃতির যার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= (πr2 + πrl) বর্গ একক
কোণকের মধ্যবর্তি সমকোণী ত্রিভুজের ধরে,
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
l2 = h12 + r2
বা, l2 = 122 + 52
বা, l2 = h2 + r2
বা, l2 = 169
বা, l = 13
ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল
= (πr2 + πrl) বর্গ একক
= (3.1416 ✕ 52 + 3.1416 ✕ 5 ✕ 13)
= (3.1416 ✕ 25 + 3.1416 ✕ 5 ✕ 13)
= (78.54 + 204.204)
= 282.744 বর্গ একক
সুতরাং, ঘনবস্তুটির উপরের অংশের ক্ষেত্রফল 282.744 বর্গ একক (Answer)
(ii) ঘনবস্তুটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে-
চিত্র হতে পাই,
ঘনবস্তুটি তিনটি আকৃতি দ্বারা গঠিত, এগুলো হলো নিচেরটি অর্ধগোলক, মাঝেরটি সিলিন্ডার এবং উপরেরটি কোণক। এখানে, অর্ধগোলক, সিলিন্ডার এবং কোণকের ব্যাসার্ধ একই, r = 5 একক
প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ, r = 5 একক
উপরের কোণকে উচ্চতা, h1 = 12 একক
মাঝেরটি সিলিন্ডার উচ্চতা, h2 = 5 একক
নিচেরটি অর্ধগোলক উচ্চতা, h3 = 5 একক [গোলকের চারদিকের দূরত্ব এর ব্যাসার্ধের সমান]
ঘনবস্তুটি লক্ষ্য করি,
এই তিনটি আকৃতির উচ্চতার সমষ্টিই হলো ঘনবস্তুটির উচ্চতা।
ঘনবস্তুটির উচ্চতা = (12 + 5 + 5) একক = 22 একক।
সুতরাং, ঘনবস্তুটির উচ্চতা 22 একক। (Answer)
(iii) ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে-
চিত্র হতে পাই,
ঘনবস্তুটিতে তিনটি তল আছে, (i) কোণকের বক্রতল, (ii) সিলিন্ডারের বক্রতল ও (iii) অর্ধগোলকের পৃষ্ঠতল।
প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ, r = 5 একক
উচ্চতা, h2 = 5 একক
উপরের কোণকে হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = 13 একক [(i) নং হতে প্রাপ্ত সমাধান হতে পাই]
ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অর্ধগোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
সুতরাং, ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 518.364 বর্গএকক। (Answer)
(iv) ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
ঘনবস্তুটি তিনটি আকৃতি দ্বারা গঠিত, এগুলো হলো নিচেরটি অর্ধগোলক, মাঝেরটি সিলিন্ডার এবং উপরেরটি কোণক। এখানে, অর্ধগোলক, সিলিন্ডার এবং কোণকের ব্যাসার্ধ একই, r = 5 একক
প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ, r = 5 একক
উপরের কোণকে উচ্চতা, h1 = 12 একক
উপরের কোণকে হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = 13 একক [(i) নং হতে প্রাপ্ত সমাধান হতে পাই]
মাঝেরটি সিলিন্ডার উচ্চতা, h2 = 5 একক
ঘনবস্তুটির আয়তন
= কোণকটির আয়তন + সিলিন্ডারটির আয়তন + অর্ধগোলকের আয়তন
সুতরাং, ঘনবস্তুটির আয়তন 994.8033 ঘনএকক। (Answer)
Solution:
(i) কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
চিত্র হতে পাই,
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সেমি এবং
ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সেমি।
এখানে, কোণকের হেলানো উচ্চতা, l হলে,
পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
l2 = h2 + r2
বা, l2 = 122 + 62
বা, l2 = 180
বা, l = √ 180
বা, l = 13.4164
আমরা জানি
কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= πrl বর্গএকক
= 3.1416 ✕ 6 ✕ 13.4164 বর্গসেমি
= 252.8939 বর্গসেমি (প্রায়)
সুতরাং, কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 252.8939 বর্গসেমি (প্রায়)। (Answer)
(ii) অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল বের করো।
চিত্র হতে পাই,
অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ, r = 6 সেমি
আমরা জানি,
অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr2 বর্গ একক
= (2 ✕ 3.1416 ✕ 62) বর্গসেমি
= (2 ✕ 3.1416 ✕ 36) বর্গসেমি
= 226.1952 বর্গসেমি।
সুতরাং, অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 226.1952 বর্গসেমি (প্রায়)। (Answer)
(iii) সিলিন্ডারের ফাঁকা অংশের আয়তন নির্ণয় করতে হবে-
চিত্র হতে পাই,
সিলিন্ডার, কোণকের ভূমি ও অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ একই, r = 6 সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা, hc = (12 + 6) সেমি = 18 সেমি
কোণকের উচ্চতা, hk = 12 সেমি
কোণকের হেলানো উচ্চতা, l = 13.4164 সেমি
সিলিন্ডারের ফাঁকা অংশের আয়তন = সিলিন্ডারের আয়তন - (কোণকের আয়তন + অর্ধগোলকের আয়তন)
সিলিন্ডারের আয়তন
= πr2h ঘনএকক [সূত্র বসিয়ে]
= 3.1416 ✕ 62 ✕ 18 ঘনসেমি
= 3.1416 ✕ 36 ✕ 18 ঘনসেমি
= 2035.7568 ঘনসেমি
কোণকের আয়তন
= 1 3 πr2h ঘনএকক [সূত্র বসিয়ে]
অর্ধগোলকের আয়তন
= 2 3 πr3 ঘনএকক [সূত্র বসিয়ে]
সিলিন্ডারের ফাঁকা অংশের আয়তন
= সিলিন্ডারের আয়তন - (কোণকের আয়তন + অর্ধগোলকের আয়তন)
= 2035.7568 - (452.3904 + 452.3904) ঘনসেমি
= 2035.7568 - 904.7808 ঘনসেমি
= 1130.976 ঘনসেমি
সুতরাং, সিলিন্ডারের ফাঁকা অংশের আয়তন 1130.976 ঘনসেমি (প্রায়)। (Answer)
(iv) অর্ধগোলক, কোণক ও সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করতে হবে-
এখানে, (iii) নং হতে প্রাপ্ত সমাধান থেকে পাই,
অর্ধগোলকের আয়তন = 452.3904 ঘনসেমি
কোণকের আয়তন = 452.3904 ঘনসেমি
সিলিন্ডারের আয়তন =2035.7568 ঘনসেমি
আয়তনের অনুপাত-
অর্ধগোলকের আয়তন : কোণকের আয়তন : সিলিন্ডারের আয়তন
= 452.3904 : 452.3904 : 2035.7568
= 1 : 1 : 4.5 [প্রত্যেককে 452.3904 দ্বারা ভাগ করে পাই]
= 2 : 2 : 9 [প্রত্যেককে 2 দ্বারা গুণ করে পাই]
সুতরাং, অর্ধগোলক, কোণক ও সিলিন্ডারের আয়তনের অনুপাত হলো 2 : 2 : 9 (Answer)
No comments:
Post a Comment