বাস্তব সমস্যা সমাধানের সহসমীকরণ (শ্রেণী - ৯, অভিজ্ঞতা - ৫)

• Topics
• MCQ Test
• Exercise Solution

প্রশ্ন-5.1 সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে তুলনা করে নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।

Solution:

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₁x + b₁y = c₁ এর সাথে তুলনা করে নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করা হলো:

প্রশ্ন-5.2 নিচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলোর মধ্যে যে গুলো সমাধানযোগ্য তাদের লেখচিত্র এঁকে সমাধান করো এবং অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে কমপক্ষে তিনটি সমাধান লেখো।  

i) 2x + y =8 

   2x - 2y = 5 

ii) 2x + 5y = -14 

    4x - 5y = 17 

iii) x2 + y3 = 8 

     5x 4 - 3y = -3 

iv) -7x + 8y = 9 

      5x - 4y = -3

Solution:

(i)
দেওয়া আছে,
2x + y = 8
2x - 2y = 5

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂  তুলনা করে পাই,
 a₁  a₂ =  2  2 = 1
 b₁  b₂ =  1 -2 = -  1  2
 c₁  c₂ =  8  5

অতএব, a₁a₂ ≠ b₁b₂

∴ সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে।

লেখচিত্র সমাধানঃ
2x + y = 8
বা, y = 8 – 2x....(i)

এখানে, (i) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।
ছক-১

 

আবার,
2x - 2y = 5
বা, -2y = 5 - 2x
বা, 2y = 2x - 5
বা, y = 2x - 5   2.....(ii)

আবার, (ii) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।
ছক-২

 

ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর x এর মানের বিপরীতে y এর মান বসাই, ছক-১ এর জন্য (1,6), (2,4) ও (3,2) এবং ছক-২ এর জন্য (1,-1.5), (2,-0.5) ও (3.5,1) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করে মূলত একটি সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করে আরেকটি সরলরেখা পাওয়া যায়, সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (3.5,1) বিন্দুতে ছেদ করে।

 
সুতরাং, নির্নেয় সমাধান- (x,y) = (3.5, 1) (Answer)


(ii)

দেওয়া আছে,  

2x + 5y = -14
4x - 5y = 17

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂  তুলনা করে পাই,
 a₁  a₂ =  2  4 =  1  2
 b₁  b₂ =  5 -5 = -1
 c₁  c₂ =  -14   17

অর্থাৎ, a₁a₂ ≠ b₁b₂

অতএব, সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে বা এটি সমাধানযোগ্য।

লেখচিত্রের মাধ্যমে সমাধান-
2x + 5y = -14
বা, 5y = -14 - 2x
বা, y = -14 - 2x      5.....(i)

এখানে, (i) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।
ছক-১

 

আবার,
4x - 5y = 17
বা, -5y = 17 - 4x
বা, 5y = 4x - 17
বা, y = 4x - 17     5.....(ii)

 
আবার, (ii) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান বের করি।
ছক-২

 

এখন, ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে x এর মানের বিপরীতে y এর মান বসাই ছক-১ থেকে প্রাপ্ত মান (-7,0), (-2,-2) ও (0.5,-3) এবং ছক-২ থেকে প্রাপ্ত মান (0.5,-3), (3,-1) ও (8,3) নিয়ে ছক কাগজে বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো থেকে সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করে আরেকটি সরলরেখা পাই। এখানে, সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (0.5,-3) বিন্দুতে ছেদ করে।

 
সুতরাং, নির্নেয় সমাধান- (x,y) = (0.5,-3)

 

(iii)

দেওয়া আছে,  

 x  2 +  y  3 = 8
 5x   4 - 3y = -3 

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,
 a₁  a₂ =  1  2 ÷  5  4 =  1  2 ✕  4  5 =  2  5
 b₁  b₂ =  1  3  ÷ (-3) =  1  3  ✕  1 -3 = -  1  9
 c₁  c₂ = -  8  3

অর্থাৎ, a₁a₂ ≠ b₁b₂

অতএব, সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে।

লেখচিত্রের মাধ্যমে সমাধান-
 x  2 +  y  3 = 8

বা, 3x + 2y    6 = 8

বা, 3x + 2y = 48   [6 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2y = 48 - 3x
বা, y = 48 - 3x    2.....(i)

এখানে, (i) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।
ছক-১

আবার,
 5x   4 - 3y = -3
বা, 5x - 12y = -12
বা, -12y = -12 - 5x
বা, 12y = 12 + 5x
বা, y = 12 + 5x    12......(ii)

আবার, (ii) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান বের করি।
ছক-২

এখন, ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে x এর মানের বিপরীতে y এর মান বসাই ছক-১ থেকে প্রাপ্ত মান (10,9), (8,12) ও (12,6) এবং ছক-২ থেকে প্রাপ্ত মান (12,6), (6,3.5) ও (0,1) নিয়ে ছক কাগজে বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো থেকে সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করে আরেকটি সরলরেখা পাই।

যেহেতু, উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (12,6) বিন্দুতে ছেদ করে।

সুতরাং, নির্নেয় সমাধানঃ(x,y)=(12,6)

(iv)

দেওয়া আছে,    

-7x + 8y = 9
5x - 4y = -3

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,
 a₁  a₂ = -  7  5
 b₁  b₂ = -  8  4 = -2
 c₁  c₂ = -  9  3 = -3

অর্থাৎ, a₁a₂ ≠ b₁b₂

অতএব, সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে ।

লেখচিত্রের মাধ্যমে সমাধান-
-7x + 8y = 9
বা, 8y = 9 + 7x
বা, y = 9 + 7x   8....(i)

এখানে, (i) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।
ছক-১

 

আবার,
5x - 4y = -3
বা, -4y = -3 - 5x
বা, 4y = 3 + 5x
বা, y = 3 + 5x   4.....(ii)

আবার, (ii) নং সমীকরণে x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর কয়েকটি মান বের করি।
ছক-২

 

এখন, ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে x এর মানের বিপরীতে y এর মান বসাই ছক-১ থেকে প্রাপ্ত মান (-2,-58), (0,98) ও (1,2) এবং ছক-২ থেকে প্রাপ্ত মান (-2,-1.75),(1,2) ও (3,4.5) নিয়ে ছক কাগজে বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো থেকে সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করে আরেকটি সরলরেখা পাই।

 

এখানে, উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (1,2) বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, নির্নেয় সমাধান (x,y) = (1,2)  (Answer)

প্রশ্ন-5.3 প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করো: 

i)  7x - 3y = 31 

     9x - 5y = 41

ii)  (x + 2)(y - 3) = y(x - 1) 

      5x - 11y - 8= 0

iii)  xa + yb = 2

      ax + by = a² + b²

iv)   x14 +  y18 = 1 

      x + y   2 + 3x + 5y     2 = 2

v)  p(x + y) = q(x - y) = 2pq

Solution:

(i) 7x - 3y = 31
     9x - 5y = 41

দেওয়া আছে,
7x - 3y = 31.......(i)
9x - 5y = 41.......(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
7x = 31 + 3y
বা, x = 3y + 31     7.....(iii)

এখানে, (iii) নং সমীকরণ হতে x এর মান (ii) নং সমীকরণ এ বসাই,

    9 ✕ 3y + 31     7 – 5y = 41

বা, 27y + 279       7 – 5y = 41

বা, 7 ✕ (27y + 279       7 – 5y) = 7 ✕ 41   [উভয় পাশে 7 দ্বারা গুণ করে]

বা, 27y + 279 - 35y = 287

বা, -8y + 279 = 287

বা, -8y = 287 - 279

বা, -8y = 8

বা, y = -1

এখানে, y এর মান (iii) নং সমীকরণ এ বসাই,
    x = 31 + 3.(-1)       7
বা, x = 31 - 3   7
বা, x = 28 7 = 4

সুতরাং, প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান, (x, y) = (4, - 1)    (উত্তর)

(ii) (x + 2)(y - 3) = y(x - 1)
      5x - 11y - 8 = 0

দেওয়া আছে,
(x + 2)(y - 3) = y(x - 1)......(i)
5x - 11y - 8 = 0.......(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
    xy + 2y - 3x - 6 = xy - y
বা, xy + 2y - 3x - 6 - xy + y = 0
বা, 3y = 3x + 6
বা, 3y = 3(x + 2)
বা, y = x + 2.......(iii)

এখানে, y এর মান (ii) নং সমীকরণ এ বসাই,
    5x - 11(x + 2) - 8 = 0
বা, 5x - 11x - 22 - 8 = 0
বা, - 6x = 22 + 8
বা, - 6x = 30
বা, x = - 5

এখানে, x এর মান (iii) নং সমীকরণ এ বসাই,
y = - 5 + 2 = - 3

সুতরাং, প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে নির্নেয় সমাধানঃ (x, y) = (- 5, - 3)   (উত্তর)

(iii) xa + yb = 2
     ax + by = a² + b²

দেওয়া আছে,
xa + yb = 2……(i)
ax + by = a² + b²…....(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
xa + yb = 2
বা, ab(xa + yb) = 2ab [উভয় পাশে ab দ্বারা গুণ করে]
বা, xb + ya = 2ab
বা, xb = 2ab - ya
বা, x = 2a - ya b.....(iii) [উভয় পাশে b দ্বারা ভাগ করে]

এখন x এর মান (ii) নং সমীকরণ এ বসাই,
     a(2a - ya b) + by = a² + b²
বা, a.2a - (ya b).a + by = a² + b²
বা, - (ya b).a = a² + b² – a.2a – by
বা, - (ya b).a = a² + b² – 2a² - by
বা, - (ya b).a = b² – a² - by
বা, - ya.a = b(b² – a² – by)
বা, - ya² = b³ – a²b – b²y
বা, - ya² + b²y = b(b² - a²)
বা, y(b² - a²) = b(b² - a²)
বা, y = b    [উভয় পাশে (b² - a²) দ্বারা ভাগ করে]

এখানে, b এর এই মান (iii) নং সমীকরণ এ বসাই,
x = 2a - ab b
বা, x = 2a – a = a

সুতরাং, প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধানঃ (x, y) = (a, b)   (উত্তর)


(iv)  x18 +  y18 = 1
      x + y    2 + 3x + 5y      2 = 2

দেওয়া আছে,
 x18 +  y18 = 1......(i)
x + y    2 + 3x + 5y      2 = 2.....(ii)

(ii) নং সমীকরণ এর উভয় পাশে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
    2(x + y   2 + 3x + 5y     2) = 2 ✕ 2
বা, x + y + 3x + 5y = 4
বা, 4x + 6y = 4
বা, 2(2x + 3y) = 4
বা, 2x + 3y = 2
বা, 2x = 2 - 3y
বা, x = 2 - 3y   2.....(iii)

এখন x এর এই মান (i) নং সমীকরণ এ বসাই,

      x ✕  114 +  y18 = 1
বা,  2 - 3y   2 ✕  114 +  y18 = 1
বা, (2 - 3y)    28 +  y18 = 1
বা, (9(2 - 3y) + 14y)          252 = 1
বা, 9(2 - 3y) + 14y = 252 [উভয় পাশে 252 দ্বারা গুণ করে]
বা, 18 - 27y + 14y = 252
বা, -13y = 252 - 18
বা, - 13y = 234
বা, y = -18

এখানে, y এর এই মান (iii) নং সমীকরণ এ বসাই,
x = 2 - 3(-18)      2
বা, x = 2 + 54   2
বা, x = 56 2
বা, x = 28

সুতরাং, প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (28, - 18)  (উত্তর)

v) p(x + y) = q(x - y) = 2pq

দেওয়া আছে,
p(x + y) = 2pq......(i)
q(x - y) = 2pq......(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
x + y = 2q
বা, x = 2q - y......(iii)

এখানে, x এর এই মান (ii) নং সমীকরণ এ বসাই,
    q(2q - y - y) = 2pq
বা, q(2q - 2y) = 2pq
বা, q.2(q - y) = 2pq
বা, 2q(q - y) = 2q.p
বা, (q - y) = p
বা, -y = p - q
বা, y = q - p

এখানে, y এর এই মান (iii) নং সমীকরণ এ বসাই,
     x = 2q - (q - p) 

বা, x = 2q - q + p = q + p

সুতরাং, প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (q+p, q-p) (উত্তর)

প্রশ্ন-5.4 অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো।

i)  3x - 5y = -9 

     5x - 3y = 1

ii)  x + 1y + 1 = 45 

      x - 5y - 5 = 12

iii)  2x + 3y = 5 

       5x - 2y = 3

iv)  ax + by = 1 

       bx + ay =    2aba² + b²

Solution:

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান-

(i) 3x - 5y = - 9
     5x - 3y = 1

দেওয়া আছে,
3x - 5y = - 9
বা, 9x - 15y = - 27.....(i) [উভয় পাশে 3 দ্বারা গুণ করে পাই]
এবং,
5x - 3y = 1
বা, 25x - 15y = 5.....(ii) [উভয় পাশে 5 দ্বারা গুণ করে পাই]

এখানে, (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,
25x - 15y - (9x - 15y) = 5 – ( - 27)
বা, 25x - 15y - 9x + 15y = 5 + 27
বা, 16x = 32
বা, x = 2

এখানে, (ii) নং সমীকরণ এ x = 2 বসিয়ে পাই,
25x - 15y = 5
বা, 25 ✕ 2 – 15y = 5
বা, 50 – 15y = 5
বা, -15y = 5 - 50
বা, -15y = - 45
বা, y = 3

অতএব, অপনয়ন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

(ii) x + 1y + 1 = 45
      x - 5y - 5 = 12

দেওয়া আছে,
x + 1y + 1 = 45
বা, 5(x + 1) = 4(y + 1)
বা, 5x + 5 = 4y + 4
বা, 5x - 4y = 4 - 5
বা, 5x - 4y = - 1.....(i)
এবং,
x - 5y - 5 = 12
বা, 2(x - 5) = 1(y - 5)
বা, 2x - 10 = y - 5
বা, 2x - y = -5 + 10
বা, 2x - y = 5
বা, 8x - 4y = 20.....(ii) [উভয় পাশে 4 দ্বারা গুণ করে পাই]

এখানে, (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,
8x - 4y - (5x - 4y) = 20 - ( - 1)
বা, 8x - 4y - 5x + 4y = 20 + 1
বা, 3x = 21
বা, x = 21 3
বা, x = 7

এখানে, x = 7, (ii) নং সমীকরণ এ বসিয়ে পাই,
8 ✕ 7 - 4y = 20
বা, 56 - 4y = 20
বা, -4y = 20 – 56
বা, -4y = -36
বা, y = 9

অতএব, অপনয়ন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধানঃ (x, y) = (7, 9)


(iii) 2x + 3y = 5
       5x - 2y = 3

দেওয়া আছে,
2x + 6y = 5
বা, 4x + 3y = 10.....(i) [উভয় পাশে 2 দ্বারা গুণ করে পাই]
এবং,
5x - 2y = 3
বা, 15x - 6y = 9.....(ii) [উভয় পাশে 3 দ্বারা গুণ করে পাই]

এখানে, (i) ও (ii) যোগ করে,
4x + 6y + 15x - 6y = 10 + 9
বা, 19x = 19
বা, x = 1

এখানে, x = 1, এই মান (ii) নং সমীকরণ এ বসিয়ে পাই,
15 ✕ 1 - 6y = 9
বা, - 6y = 9 - 15
বা, - 6y = - 6
বা, -6y = - 6
বা, y = 1

অতএব, অপনয়ন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)


(iv) ax + by = 1
       bx + ay = 2ab(a² + b²)

দেওয়া আছে,
ax + by = 1
বা, b(ax + by) = 1.b [উভয় পাশে b দ্বারা গুণ করে পাই]
বা, abx + b²y = b.....(i)
এবং,
bx + ay =      2ab(a² + b²)
বা, a(bx + ay) =  a ✕ 2ab(a² + b²)
বা, abx + a²y =    2a²b(a² + b²).....(ii) [উভয় পাশে a দ্বারা গুণ করে পাই]

এখানে, (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই,
abx + a²y - ( abx + b²y) = 2a²b/(a² + b²) - b
বা, a²y - b²y =     2a²b(a² + b²) – b
বা, y(a² - b²) = 2a²b - b(a² + b²)        a² + b²
বা, y(a² - b²) = 2a²b - a²b - b³      a² + b²
বা, y(a² - b²) = a²b - b³a² + b²
বা, y(a² - b²) = b(a² - b²)  a² + b²
বা, y =      b a² + b²

এখানে, ax + by = 1 সমীকরণে y এর প্রাপ্ত মান বসিয়ে পাই,
ax + b.      b(a² + b²) = 1
বা, ax(a² + b²)+ b²       a² + b² = 1
বা, ax(a² + b²) + b² = a² + b²
বা, ax(a² + b²) = a² + b² - b²
বা, ax(a² + b²) = a²
বা, x(a² + b²) = a
বা, x =     aa² + b²

অতএব, অপনয়ন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধানঃ
x =      aa² + b²    এবং
y =     aa² + b²

প্রশ্ন-5.5 আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করো।

i)  3x - 2y = 2 

    7x + 3y = 43

ii)  x2 + y3 = 8 

     5x 4 - 3y = -3

iii)  px + qy = p² + q² 

      2px - py = pq

iv)  ax - by = ab 

       bx - ay = ab

Solution:

আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান-

(i) 3x - 2y = 2
    7x + 3y = 43

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে নিন্মরুপে লেখা যায় -
3x - 2y = 2
বা, 3x - 2y - 2 = 0
এবং,
7x + 3y = 43
7x + 3y - 43 = 0

এখানে, আড়গুণন/বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
               x(-2)(-43) - (-2)(3) =           1(3)(3) - (7)(-2)
বা,       x86 - (-6) =      19 - (-14)
বা,  x92 =  123
বা, 23x = 92 [উভয়ে পাশে 23 দ্বারা ভাগ করি]
বা, x = 4

আবার,
            y(-2)(7) - (-43)(3) =           1(3)(3) - (7)(-2)
বা,           y- 14 - (-129) =      19 - (-14)
বা,   y115 =  123
বা, 23y = 115 [উভয়ে পাশে 23 দ্বারা ভাগ করি]
বা, y = 5

অতএব, আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (4, 5)

(ii) x2 + y3 = 8
     5x 4 - 3y = -3

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে আমরা নিন্মরুপে লেখা যায় -
x2 + y3 – 8 = 0
এবং,
5x 4 - 3y + 3 = 0

এখানে, আড়গুণন /বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
           x(13)(3) - (-3)(-8) =             1(12)(-3) - (54)(13)
বা,      x   1 - (24)  =              1                   -3     2 -   5   12

বা,    x   -23 =              1                 -3 ✕ 6 - 5          12

বা,    x   -23 =          1                   -23      12

বা,    x   -23 =   12   -23  

∴  x = 12

আবার,
            y(-8)(54) - (3)(12) =             1(12)(-3) - (54)(13)

বা,         y        -10 - 32 =          1            -  3  2 -   5  12

বা,           y               -20 - 3         2 =          1         -18 - 5      12

বা,       y         -23     2 =          1              -23     12

বা,    2y      -23 =    12     -23

বা, 2y = 12  [উভয়ে পাশে -23 দ্বারা গুন করে পাই]
বা, y = 12 2
বা, y = 6

অতএব, আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (12, 6)

(iii) px + qy = p² + q²
      2qx - py = pq

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে নিন্মরুপে লেখা যায় -
px + qy = p² + q²
বা, px + qy - p² - q² = 0
এবং,
2qx - py = pq
বা, 2qx - py - pq = 0

এখানে, আড়গুণন /বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
                 x(q)(-pq) - (-p)(-p² - q²) =             1(p)(-p) - (2q)(q)
বা,              x- pq² - p³ - pq² =        1- p² - 2q²
বা,          xp(-p² - 2q²) =        1- p² - 2q²
বা,          xp(-p² - 2q²) =        1- p² - 2q²
বা, xp = 1 [উভয়ে পাশে (-p² - 2q²) দ্বারা গুন করে পাই]
বা, x = p

আবার,
                    y(-p² - q²)(2q) - (-pq)(p) =             1(p)(-p) - (2q)(q)
বা,                 y- 2p²q - 2q³ + p²q =        1- p² - 2q²
বা,          y- p²q - 2q³ =        1- p² - 2q²
বা,          yq(-p² - 2q²) =        1- p² - 2q²
বা,  yq = 1 [উভয়ে পাশে (-p² - 2q²) দ্বারা গুন করে পাই]
বা, y = q

অতএব, আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (p, q)


(iv) ax - by = ab
      bx - ay = ab

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে নিন্মরুপে লেখা যায় -
ax - by = ab
বা, ax - by - ab = 0
এবং,
bx - ay = ab
bx - ay - ab = 0

এখানে, আড়গুণন/বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
               x(-b)(-ab) - (-a)(-ab) =            1(a)(-a) - (b)(-b)
বা,        xab² - a²b =        1- a² + b²
বা,        xab(b - a) =          1(b - a)(b + a)
বা, x(b - a)(b + a) = ab(b - a)
বা, x(b + a) = ab [উভয়ে পাশে (b - a) দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, x =  aba + b

আবার,

           y(-ab)b - (-ab)a =            1(a)(-a) - (b)(-b)
বা,          y- ab² + a²b =       1- a² + b²
বা,       ya²b - ab² =        1- a² + b²
বা,        yab(a - b) =          1(b - a)(b + a)
বা, y(b - a)(b + a) = ab(a - b)
বা, y(b - a)(b + a) = -ab(b - a)
বা, y(b + a) = -ab [উভয়ে পাশে (b - a) দ্বারা ভাগ করে পাই]
বা, y = -aba + b

অতএব, আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে নির্ণেয় সমাধান,
x =   aba + b এবং
y =   -aba + b

প্রশ্ন-5.6 অপুর একটি আয়তাকার সবজি বাগান আছে। বাগানটির পরিসীমা 120 মিটার। প্রস্তকে দ্বিগুন করলে এবং দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কমালে পরিসীমা হয় 150 মিটার। 

ক) বাগানটি 3 পাশে ঘেরা আছে এবং দৈর্ঘ্য বরাবর এক পাশে ফাঁকা আছে। ফাঁকা পাশ বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে প্রতি মিটার 10 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ হবে? 

খ) যদি প্রতি বর্গমিটারে জৈবিক সারের জন্য 7 টাকা খরচ হয়, তাহলে সার বাবদ অপুর মোট কত টাকা খরচ হবে?

Solution:

ক) অবশিষ্ট ফাঁকা অংশ বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে কত খরচ হবে তা নির্ণয় করতে হবে-

মনে করি,
আয়তাকার বাগানের,

দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং
প্রস্থ = y মিটার।

প্রশ্নমতে,
পরিসীমা, 2(x + y) = 120......(i)
এবং 2{2y + (x - 3)} = 150.....(ii)

এখন, সমীকরণ (i) হতে পাই,
2(x + y) = 120
বা, x + y = 60
বা, x = 60 - y......(iii)

সমীকরণ (ii) নং হতে পাই,

2{2y + (x - 3)} = 150

বা, {2y + (x - 3)} = 150  2

বা, 2y + x - 3 = 75

বা, 2y + x = 75 + 3

বা, 2y + x = 78

বা, 2y + (60 - y) = 78   [সমীকরণ (iii) এর মান বসাই]

বা, y = 78 - 60

  ∴ y = 18


y এর মান সমীকরণ (iii) এ বসাই,
     x = 60 - y
বা, x = 60 – 18

  ∴ x = 42

 
উপরোক্ত সমাধান থেকে আয়তাকার সবজি বাগানের দৈর্ঘ্য পাই, x = 42 মিটার।
প্রশ্ন অনুযায়ী দৈর্ঘ্য বরাবর বাগানের এক পাশ ফাঁকা আছে অর্থাৎ ফাঁকা আছে 42 মিটার।

দেওয়া আছে, বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে, 

1 মিটারের খরচ   = 10 টাকা
42 মিটারের খরচ = (42 ✕ 10) টাকা
                             = 420 টাকা

সুতরাং, বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে খরচ 420 টাকা। (Answer)



খ) জৈবিক সারের জন্য কত খরচ হবে তা নির্ণয় করতে হবে-

উপরোক্ত সমাধান থেকে আয়তাকার সবজি বাগানের দৈর্ঘ্য, x = 42 মিটার এবং প্রস্থ y = 18 মিটার

অতএব, আয়তাকার সবজি বাগানের ক্ষেত্রফল = (42 ✕ 18) বর্গমিটার 

                                                                             = 756 বর্গমিটার।

দেয়া আছে , জৈবিক সারের জন্য 1 বর্গমিটারে খরচ = 7 টাকা
∴ 756 বর্গমিটারে খরচ = (7 ✕ 756) টাকা = 5292 টাকা।

সুতরাং, জৈবিক সারের জন্য খরচ 5292 টাকা। (Answer)

প্রশ্ন-5.7 x² - 3 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করো এবং সমাধান করো।

Solution:

x² – 3 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় এবং সমাধান করতে হবে।

দেওয়া আছে,
x² – 3 = 0

আমরা জানি,
দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ- ax² + bx + c = 0
এখানে, a = 1, b = 0, c = -3

দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ অনুযায়ী প্রদত্ত সমীকরণকে সাজাই - 1.x² + 0.x + (-3) = 0
তাহলে, প্রদত্ত সমীকরনের নিশ্চায়ক  b²-4ac = 0²-4.1.(-3) = 12
এখন, নিশ্চায়ক 12 > 0 এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

তাহলে, এই সমীকরণটির মূলের প্রকৃতি পাওয়া যায়, এর মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।

এই সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণের প্রকাশ করে পাই-
      
x = -b ± √ (b²-4ac)        2a        

বা, x = -0 ± √ {0² - 4 ✕ 1 ✕ (-3)}               2 ✕ 1            

বা, x = ±√ 12    2          

বা, x = ±√ (4 ✕ 3)        2           

বা, x = ±2√ 3     2
              
বা, x = ±√ 3 

সুতরাং, সমীকরণের মূল দুইটি হলো x₁ = √ 3  এবং x₂ = -√ 3  (Answer)

প্রশ্ন-5.8 3x² - 2x -1 = 0 সমীকরণটি সূত্রের সাহায্যে সমাধান করো। আবার সমীকরণটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে দেখাও যে, উভয় পদ্ধতিতে একই সমাধান পাওয়া যায়।

Solution:

3x² - 2x - 1 = 0 সমীকরণটি সূত্রের সাহায্যে এবং লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করতে হবে।

দেওয়া আছে,
3x² - 2x - 1 = 0

প্রদত্ত সমীকরণকে দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করলে,
ax²+bx+c=0, এখানে, a = 3, b = -2, c = -1

অতএব,

x = -b ± √ (b²-4ac)      2a

বা, x = -(-2) ± √ {(-2)² - 4 ✕ 3 ✕ (-1)}                2 ✕ 3

বা, x = 2 ± √ (4 + 12)        6

বা, x = 2 ± √ 16     6

বা, x = 2 ± 4   6

সুতরাং, x₁ = 2 + 4   6 = 1 

এবং, x₂ = 2 - 4   6 = -  2  6 = -  1  3


লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধানঃ

মনে করি,
y = 3x² - 2x – 1

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করি।

গ্রাফ কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে x ও y বিন্দুগুলো স্থাপন করে লেখচিত্রটি অংকন করা হলো।

লেখচিত্রটিতে (x,y) এর মান বসিয়ে দেখা যায় তা (- 13,0) ও (1,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অতএব, এই বিন্দুদ্বয়ের মানই হলো প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান।

সুতরাং, x₁ = 1 এবং, x₂ = - 13

অতএব, সূত্র ও লেখচিত্র উভয় পদ্ধতিতে একই সমাধান পাওয়া যায়। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন-5.9 সেতুর মা বাড়িতে হাঁস ও মুরগী পালন করে। তিনি 5000 টাকা দিয়ে 25 টি হাঁসের বাচ্চা এবং 30 টি মুরগীর বাচ্চা কিনলেন। যদি তিনি একই দরে 20 টি হাঁসের বাচ্চা এবং 40 টি মুরগীর বাচ্চা কিনতেন তবে তার 500 টাকা কম খরচ হত।  

ক) একটি হাঁসের বাচ্চা ও একটি মুরগীর বাচ্চার দাম কত? 

খ) কিছুদিন লালনপালনের পরে প্রতিটি হাঁস 250 টাকা এবং প্রতিটি মুরগী 160 টাকা দরে বিক্রি করলে তাঁর মোট কত টাকা লাভ হবে?

Solution:

(ক) একটি হাঁসের বাচ্চা ও একটি মুরগীর বাচ্চার দাম নির্ণয় করতে হবে-

মনে করি,
প্রতিটি হাঁসের বাচ্চার প্রতিটার মূল্য x টাকা
প্রতিটি মুরুগীর বাচ্চার মূল্য y টাকা।

এখানে, প্রশ্নমতে,
25x + 30y = 5000

বা, 5(5x + 6y) = 5000

বা, (5x + 6y) = 5000   5

বা, 5x + 6y = 1000.....(i)

এবং
    20x + 40y = 5000 – 500

বা, 20x + 40y = 4500

বা, 20(x + 2y) = 4500

বা, (x + 2y) = 4500  20

বা, x + 2y = 225

বা, x = 225 - 2y......(ii)

এখন, x = 225 - 2y, (i) নং সমীকরণে বসাই,
5x + 6y = 1000

বা, 5(225 - 2y) + 6y = 1000

বা, 1125 – 10y + 6y = 1000

বা, -4y = 1000 – 1125

বা, -4y = -125

বা, y = -125  -4

∴ y = 31.25

x এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

 x = 225 - 2y
    = 225 – 2 ✕ 31.25
    = 225 – 62.50
    = 162.50

অতএব, একটি হাঁসের বাচ্চার মূল্য 162.50 টাকা ও একটি মুরগীর বাচ্চার মূল্য 31.25 টাকা। (Answer)



খ) মোট লাভ কত টাকা নির্ণয় করতে হবে-

ক্রয়কৃত হাঁসের বাচ্চার সংখ্যা 25 টি এবং ক্রয়কৃত মুরগির বাচ্চার সংখ্যা 30 টি।
লালন পালনের পর ক্রয়কৃত,
1টি হাঁসের বিক্রয় মূল্য   = 250 টাকা
25টি হাঁসের বিক্রয় মূল্য = (250 ✕ 25) টাকা
                                       = 6250 টাকা।
আবার,
লালন পালনের পর,
  ১টি মুরগির বিক্রয় মূল্য = 160 টাকা
30টি হাঁসের বিক্রয় মূল্য = (160 ✕ 30) টাকা
                                       = 4800 টাকা।

অতএব, মোট বিক্রিত মূল্য = (6250 + 4800) টাকা
                                            = 11050 টাকা।

দেওয়া আছে, হাঁস এবং মুরগির মোট ক্রয়মূল্য ছিল = 5000 টাকা।

অতএব, সেতুর মায়ের লাভ হলো = বিক্রয় মূল্য - ক্রয়মূল্য
                                                      = (11050 - 5000) টাকা 
                                                      = 5050 টাকা।

সুতরাং, মোট লাভ হবে 5050 টাকা    (Answer)

প্রশ্ন-5.10 নিচের সহসমীকরণের সমাধান করো:

            y = x² - 2x -3 

            x - 3y + 1 = 0

Solution:

নিচের সহসমীকরণের সমাধান করতে হবে-

দেওয়া আছে,
y = x² - 2x – 3.....(i)
x - 3y + 1 = 0......(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে y এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
    x – 3(x² - 2x - 3) + 1 =0

বা, x – 3x² + 6x + 9 + 1 = 0

বা, -3x² + 7x + 10 = 0

বা, 3x² – 7x – 10 = 0

বা, 3x² + 3x - 10x – 10 = 0

বা, 3x(x + 1) - 10(x + 1) = 0

বা, (x + 1)(3x - 10) = 0

অতএব, x + 1 = 0
বা, x = -1

অথবা, 3x - 10 = 0
বা, 3x = 10
বা, x = 10 3 

এখন, x = -1 এর মান (i) নং সমীকরণে এ বসাই,
 y = (-1)² – 2.(-1) – 3
    = 1 + 2 - 3
    = 0
এবং x = 10 3  এর মান (i) নং সমীকরণে এ বসাই
y = (10 3)² – 2.(10 3) – 3
    = 100  9 - 20 3 – 3
    =  100 - 20 ✕ 3 - 3 ✕ 9               9
    =  100 - 60 - 27          9
    =    13   9

অতএব, নির্ণেয় সমাধান, (x,y) = (-1,0),(10 3, 13 9)

প্রশ্ন-5.11 নিজের মতো করে দুই চালকবিশিষ্ট 3 সেট (একটি সরল ও একটি দ্বিঘাত) সহসমীকরণ গঠন করো এবং সমাধান করো।

Solution:

নিজের মতো করে দুই চলকবিশিষ্ট 3 সেট (একটি সরল ও একটি দ্বিঘাত) সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে হবে।

গঠনকৃত সহসমীকরণের ১ম সেট
y = x² - x - 2.....(i)
x - 2y + 5 = 0.....(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে y এর মান (ii) নং সমীকরণে এ বসাই,
x – 2(x² - x - 2) + 5 = 0

বা, x – 2x² + 2x + 4 + 5 = 0

বা, -2x² + 3x + 9 = 0

বা, 2x² - 3x - 9 = 0

বা, 2x² - 6x + 3x - 9 = 0

বা, 2x(x - 3) + 3(x - 3) = 0

বা, (2x + 3)(x - 3) = 0

অতএব, 2x + 3 = 0
বা, 2x = -3   
বা, x = -  3  2

অথবা, x - 3 = 0
বা, x = 3


এখানে, x = 10 3 এর মান (i) নং সমীকরণে বসাই,
     y = (-  3  2)² – (-  3  2) – 2
বা, y =  9  4  +  3  2 – 2
  ∴ y =  7  4

আবার, x = 3 এর মান (i) নং সমীকরণে বসাই,
     y = 3² – 3 – 2
বা, y = 9 – 3 - 2
  ∴ y = 4

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান, (x,y) = (3,4),(-  3  2,  7  4)    

গঠনকৃত সহসমীকরণের ২য় সেট-

y = x² - 3x + 2.....(i)
x - y - 1 = 0......(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে y এর মান (ii) নং সমীকরণে এ বসিয়ে পাই,
x – (x² - 3x + 2) - 1 = 0
বা, x – x² + 3x - 2 - 1 = 0
বা, -x² + 4x - 3 = 0
বা, x² - 4x + 3 = 0
বা, x² – 3x – x + 3 = 0
বা, x(x - 3) - 1(x - 3) = 0
বা, (x - 1)(x - 3) = 0

অতএব, x - 3 = 0
বা, x = 3   

অথবা, x - 1 = 0
বা, x = 1

এখানে, x = 3 এর মান (i) নং সমীকরণে বসাই,
y = 3² – 3.3 + 2
বা, y = 9 – 9 + 2
বা, y = 2

এবং x =1 এর মান (i) নং সমীকরণে বসাই,
y = 1² – 3.1 + 2
বা, y = 1 – 3 + 2
বা, y = 0

অতএব, নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (3,2),(1,0)

গঠনকৃত সহসমীকরণের ৩য় সেট
y = 2x² - 2x - 3......(i)
x - y - 4 = 0......(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে y এর মান (ii) নং সমীকরণে এ বসিয়ে পাই,
    x – (2x² - 2x - 3) - 4 = 0

বা, x – 2x² + 2x + 3 - 4 = 0

বা, -2x² + 3x - 1 = 0

বা, 2x² - 3x + 1 = 0

বা, 2x² - x - 2x + 1 = 0

বা, x(2x - 1) - 1(2x - 1)

বা, (x - 1)(2x - 1) = 0

অতএব, x - 1 = 0
বা, x = 1

অথবা, 2x - 1 = 0
বা, 2x = 1   
বা, x =  1  2

এখন, x = 1 এর মান (i) নং সমীকরণে বসাই,
    y = 2.1² - 2.1 – 3
বা, y = 2 – 2 – 3
বা, y = -3

এবং x =  1  2 এর মান (i) নং সমীকরণে বসাই,
y = 2.(12)² - 2. 1  2 – 3

বা, y =  1  2 - 1 – 3

বা, y =  1  2 - 4

বা, y =  1 - 8    2

বা, y = -  7  2

অতএব, নির্ণেয় সমাধান (x,y) = (1,-3),( 1  2,-  7  2)