প্রশ্ন-৬.৩. ΔABC সমকোণী এিভুজের ∠B = 90°, AC = 12 সেমি, BC = 13 সেমি এবং ∠BAC = θ হলে, sinθ, secθ ও tanθ এর মান বের করো।
Solution:
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°, AC = 12 সেমি, BC = 13 সেমি এবং ∠BAC = θ হলে, sinθ, secθ ও tanθ এর মান বের করো। [ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য অন্য বাহুর চেয়ে ছোট হতে পারে না, তাই AC বাহুকে অতিভুজ ধরে সমাধান করা হলো]
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°, AC = 13 সেমি, BC = 12 সেমি এবং ∠BAC = θ হলে, sinθ, secθ ও tanθ এর মান বের করতে হবে।
প্রশ্ন অনুযায়ী অঙ্কিত চিত্র হতে পাই,
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AC = 12 সেমি, BC = 13 সেমি এবং ∠BAC = θ,
এখন, বামপক্ষ = cos 2θ = cos 2✕30° = cos60° = 1 2 [যেহেতু, cos60° = 1 2]
সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ [Showed]
(ii) θ = 30° হলে, দেখাতে হবে যে,
tan 2θ = 2tanθ 1 - tan2θ
দেওয়া আছে, θ = 30°
দেখতে হবে যে,
tan 2θ = 2tanθ1 - tan2θ
এখানে, ডানপক্ষ
= 2tanθ1 - tan2θ
= 2tan30°1 - tan230°
= 2tan30° ÷ (1 - tan230°)
= {2 ✕ 1√ 3 } ÷ {1 – ( 1√ 3 )2}
= 2√ 3 ÷ (1 – 1 3)
= 2 √ 3 ÷ 3 - 1 3
= 2 √ 3 ÷ 2 3
= 2√ 3 ✕ 3 2
= 3 √ 3
= √ 3 ✕ √ 3 √ 3
= √ 3
এখন, বামপক্ষ = tan2θ = tan(2✕30°) = tan60° = √ 3
সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ [Showed]
প্রশ্ন-৬.৫. একটি গাছের পাদদেশ হতে 15 মিটার দূরে ভূ-তলের কোনো বিন্দুতে গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
প্রশ্ন অনুযায়ী অঙ্কিত চিত্র হতে পাই,
B হলো গাছের পাদদেশ এবং B হতে C এর দূরত্ব, BC = 15 মিটার এবং
C বিন্দুতে উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°.
মনে করি, গাছটির উচ্চতা AB = h মিটার
আমরা জানি,
tanθ° = বিপরীত বাহুসন্নিহিত বাহু
বা, tan60° = AB BC
বা, √ 3 = h 15
বা, h = 15 ✕ √ 3
∴ h = 25.981 (প্রায়)
অর্থাৎ, গাছটির উচ্চতা 25.981 মিটার (প্রায়)।
প্রশ্ন-৬.৬. 6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি মই ভূমির সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে ছাদ স্পর্শ করে আছে। ছাদের উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
ছাদের উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী অঙ্কিত চিত্র হতে পাই,
ভূমি হতে ছাদের উচ্চতা, AB = h মিটার ভূমির দৈর্ঘ্য, BC মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = 6 মিটার মই ভূমির সাথে 60° কোণ উৎপন্ন, ∠ACB = 60°
আমরা জানি,
sinθ = বিপরীত বাহু অতিভুজ
এখানে, ΔABC-এ sin60° = AB AC
বা, √ 3 2 = h 6 [যেহেতু, cos60° = 1 2]
বা, h 6 = √ 3 2
বা, h = √ 3 ✕ 6 2
বা, h = √ 3 ✕ 3
∴ h = 2.5981
সুতরাং, ছাদের উচ্চতা 2.5981 মিটার। (Answer)
প্রশ্ন-৬.৭. ভূতলের কোনো একটি স্থান থাকে একটি মিনারের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। ওই স্থান থেকে 20 মিটার পিছিয়ে গেলে মিনারের উন্নত কোণ হয় 45°। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
প্রশ্ন অনুযায়ী নিন্মোক্ত চিত্রটি অঙ্কন করতে পারি।
এখানে, মিনারের উচ্চতা, AB = h মিটার ভূতলের C বিন্দুতে উন্নতি কোণ , ∠ACB = 60° ভূতলের D বিন্দুতে উন্নতি কোণ, ∠ADB = 45° C স্থান থেকে 20 মিটার পিছিয়ে D স্থানে গেলে, CD = 20 মিটার
মনে করি, AC = x মিটার
আমরা জানি,
tanθ° = বিপরীত বাহুসন্নিহিত বাহু
এখানে, ΔABC-এ tan60° = AB BC
বা, √ 3 = h BC [যেহেতু, tan60° = √3]
বা, h = √ 3 ✕ BC....(i)
আবার, ΔABD-এ tan45° = AB BD
বা, tan45° = AB BC + CD
বা, 1 = h BC + 20 [যেহেতু, tan45° = 1]
বা, BC + 20 = h
বা, h = BC + 20.....(ii)
অতএব, (i) ও (ii) সমীকরণ হতে পাই,
√ 3 ✕ BC = BC + 20
বা, √ 3 ✕ BC – BC = 20
বা, BC(√ 3 - 1) = 20
বা, BC = 20√ 3 - 1
বা, BC = 20(1.7321 - 1) [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে মান বের করি]
বা, BC = 200.7321
∴ BC = 27.3187
এখন, BC = 27.3187, (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, h = BC + 20 বা, h = 27.3187 + 20 ∴ h = 47.3187 (প্রায়)
সুতরাং, মিনারটির উচ্চতা 47.3187 মিটার (প্রায়)। (Answer)
প্রশ্ন-৬.৮. একটি নদীর তীরে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখলো যে, ঠিক সোজাসুজি নদীর অপর তীরে 100 মিটার উঁচু একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। লোকটি টাওয়ার বরাবর নৌকা পথে যাত্রা শুরু করল। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে নৌকাটি টাওয়ার থেকে 10 মিটার দূরে তীরে পৌঁছাল। লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় করো।
Solution:
লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
প্রশ্ন হতে নিন্মোক্ত চিত্রটি অঙ্কন করতে পারি।
এখানে, B ও C হলো প্রদত্ত নদীর দুই তীরের দুইটি বিন্দু এবং C বিন্দুতে লোকটি দাঁড়িয়ে আছে। এখানে, BC = নদীর প্রস্থ প্রদত্ত টাওয়ারের উচ্চতা, AB = 100 মিটার তীরের C বিন্দুতে উন্নতি কোণ, ∠ACB = 45° D হলো B থেকে 10 মিটার দূরের তীরের একটি বিন্দু যেখানে লোকটি নৌকা নিয়ে পৌছায়। অতএব, BD = 10 মিটার
লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব, DC = ?
আমরা জানি,
tanθ° = বিপরীত বাহুসন্নিহিত বাহু
এখানে, ΔABC-এ
tan45° = AB BC
বা, 1 = AB BC [যেহেতু, tan45° = 1]
বা, BC = AB
বা, BC = 100 [যেহেতু, AB= 100 মিটার]
এখানে, ΔBCD-এ
DC2 = BC2 + BD2
বা, DC2 = 1002 + 102
বা, DC2 = 10000 + 100
বা, DC2 = 10100
বা, DC = √ 10100
∴ DC = 100.4987 (প্রায়)
সুতরাং, যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব100.4987 মিটার (প্রায়)। (Answer)
প্রশ্ন-৬.৯. সাগরের তীরে একটি টাওয়ারের উপর থেকে একজন লোক সাগর পর্যবেক্ষণের সময় দেখলো যে একটি জাহাজ বন্দরের দিকে আসছে। তখন জাহাজটির অবনতি কোণ ছিল 30°, কিছুক্ষন পরে লোকটি দেখলো জাহাজটির অবনতি কোণ 45°, যদি টাওয়ারটির উচ্চতা 50 মিটার হয়, তবে এই সময়ে জাহাজটি কত দূরত্ব অতিক্রম করছে?
Solution:
জাহাজটি কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে তা নির্ণয় করতে হবে।
প্রশ্ন হতে নিন্মোক্ত চিত্রটি অঙ্কন করতে পারি।
এখানে, টাওয়ারের উচ্চতা, AB = 50 মিটার C বিন্দুতে জাহাজের অবনতি কোণ, ∠EAC = 30° D বিন্দুতে জাহাজের অবনতি কোণ, ∠EAD = 45°
জাহাজটি দূরত্ব অতিক্রম করেছে, CD = ?
এখন, চিত্র অনুসারে, BC||AE এবং, AC ও AD সাধারন বাহু অতএব, ∠EAC = ∠ACB = 30° [একান্তর কোন] এবং, ∠EAD = ∠ADB = 45° [একান্তর কোন]
আমরা জানি,
tanθ° = বিপরীত বাহুসন্নিহিত বাহু
এখানে, ΔABC-এ tan30° = AB BC
বা, 1√ 3 = 50 BC [যেহেতু, tan30° = 1√ 3 ]
বা, 1 50 ✕ √ 3 = 1 BC
বা, 50.√ 3 = BC
বা, BC = 50.√ 3
বা, CD + BD = 50.√ 3 .....(i)
আবার, ΔABC-এ tan45° = AB BD
বা, 1 = 50 BD [যেহেতু,tan45°= 1]
বা, BD = 50
এখন, BD = 50; (i) নং এ বসিয়ে পাই,
CD + BD = 50.√ 3
বা, CD + 50 = 50.√ 3
বা, CD = 50.√ 3 - 50
বা, CD = 50 ✕ 1.7320 - 50
বা, CD = 86.6025 - 50
∴ CD = 36.6025 (প্রায়)
সুতরাং, জাহাজটির অতিক্রান্ত দূরত্ব 36.6025 মিটার (প্রায়)
প্রশ্ন-৬.১০. তোমার প্রতিষ্ঠানের অফিস ভবন থেকে 10 মিটার দূরে ওই ভবনের উন্নতি কোণ 45° এবং 20 মিটার দূর থেকে ওই ভবনের উন্নতি কোণ θ হলে, sinθ ও cosθ এর মান নির্ণয় করো।?
Solution:
sinθ ও cosθ-এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রশ্ন হতে নিন্মোক্ত চিত্রটি অঙ্কন করতে পারি।
যেখানে, B বিন্দুতে অফিস ভবন অবস্থিত, ভবন থেকে 10 মিটার দূরে C বিন্দু, BC = 10 মিটার ভবন থেকে 20 মিটার দূরে বিন্দু, BD = 20 মিটার
C বিন্দুতে ভবনের উন্নতি কোণ 45°, ∠ACB = 45° D বিন্দুতে ভবনের উন্নতি কোণ θ°, ∠ADB = θ°
No comments:
Post a Comment