Topic- লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ (শ্রেণী - ৯, অভিজ্ঞতা - ৩)

• Topics
• MCQ Test
• Exercise Solution

সূচক (Exponent) 

সূচক হলো একটি সংখ্যা বা প্রতীক যা কোন সংখ্যা বা চলকের উপরে লেখা হয় এবং সেই সংখ্যাকে কতবার গুণ করতে হবে তা নির্দেশ করে। এটি সাধারণত উপরের ডানদিকে ছোট আকারে লেখা হয়। সূচককে পাওয়ার (power) বা ইন্ডেক্স (index) ও বলা হয়।

সূচকের ব্যবহার:

সূচকের ব্যবহার প্রধানত গুণনের পুনরাবৃত্তি বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, 2³ এর অর্থ হলো 2-কে 3 বার নিজে নিজে গুণ করা, অর্থাৎ 2×2×2 = 8

সূচক সমীকরণ (Exponential Equation) 

সূচক সমীকরণ হলো একটি গাণিতিক সমীকরণ যেখানে চলকের মান সূচকের স্থানে থাকে। সাধারণত, সূচক সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো bⁿ = a, যেখানে b হলো ভিত্তি এবং n হলো সূচক।

সূচক সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:

ভিত্তি b এর মান: b > 0 এবং b ≠ 1

সূচক n এর মান: এটি যে কোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

ফলাফল a: এটি যে কোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

উদাহরণ:
5^x = 25
এখানে b = 5, x = 2, এবং a = 25

সূচকের সূত্রসমূহ

গুণনীয় নিয়ম: 

x^m×xn = x^m+n  

উদাহরণ: 2³×2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32


ভাগের নিয়ম:

x^mxⁿ = x^m-n  

উদাহরণ: 2⁵2³ = 2^5-3 = 2² = 4


পদগুলোর গুণন: 

(xy)ⁿ = xⁿyⁿ  

উদাহরণ: (2×3)² = 2²×3² = 4×9 = 36


পদগুলোর ভাগ:

 (xy)ⁿ = xⁿyⁿ 

উদাহরণ: (23)² = 2²3² = 49


শক্তি উত্থাপন: 

(x^m)ⁿ = x^m×n 

উদাহরণ: (2³)² = 2^3×2 = 2⁶ = 64


শূন্য সূচক: 

x⁰ = 1 (যেখানে x ≠ 0) 

উদাহরণ: 5⁰ = 1


ঋণাত্মক সূচক: 

x^-n = 1xⁿ 

উদাহরণ: 2^-3 = 12³ = 18


পদগুলোর ভাগের বিপরীত: 

(xy)ⁿ = (yx)^-n 

উদাহরণ: (23)² = (32)^-2

লগারিদম (Logarithm) 

লগারিদম হলো গাণিতিক একটি ক্রিয়াকলাপ যা কোনো সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তির সূচক হিসেবে প্রকাশ করে। সহজভাবে বললে, একটি লগারিদম কোনো সংখ্যা x এর জন্য সেই সূচকের মান বের করে যার মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি b ব্যবহার করে x পাওয়া যায়। লগারিদমের সাধারণ রূপ হলো:

log_b(x) = y

এখানে,

b হলো ভিত্তি (base) এবং b＞0 এবং b≠1
x হলো লগারিদমের আর্গুমেন্ট এবং x＞0
y হলো লগারিদমিক মান যা বলে b কে কতবার গুণ করলে x পাওয়া যায়।

উদাহরণ:

log₂(8) = 3 এটি বোঝায় 2³ = 8, অর্থাৎ 2 এর ভিত্তিতে 8 এর লগারিদম 3।


লগারিদমের প্রকারভেদ

সাধারণ লগারিদম (Common Logarithm): সাধারণ লগারিদমের ভিত্তি হলো 10। log₁₀(x) বা log(x) উদাহরণ: log₁₀(1000) = 3 কারণ 10³ = 1000

প্রাকৃতিক লগারিদম (Natural Logarithm): প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি হলো e (প্রায় 2.71828)। log_e(x) বা ln(x) উদাহরণ: ln(e²) = 2 কারণ e² = e²

লগারিদম বিষয়ক কয়েকটি সূত্র

লগারিদমের শূন্য মান: 

log_b1 = 0 

কারণ b⁰ = 1


লগারিদমের ভিত্তির সাথে সমান সংখ্যার মান: 

log_bb = 1 

কারণ b¹ = b


গুণফল লগারিদমের যোগফল: 

log_b(AB) = log_bA+log_bB 

উদাহরণ: log₂(8×4) = log₂8+log₂4


ভাগফল লগারিদমের বিয়োগফল: 

log_b(AB) = log_bA−log_bB 

উদাহরণ: log2(84) = log₂8−log₂4


শক্তি উত্থাপনের নিয়ম: log_b(A^x) = xlog_bA 

উদাহরণ: log₂(8³) = 3log₂8


লগারিদমের চেইন সূত্র: 

log_ab×log_bc = log_ac 

উদাহরণ: log₂8×log₈64 = log₂64


লগারিদমের বিপরীত: 

b^log_ba = a 

উদাহরণ: 2^log₂8 = 8


শক্তি লগারিদমের বিনিময়: 

x^log_by = y^log_bx 

উদাহরণ: 2^log₂8 = 8^log₈2


লগারিদমের বিপরীত সূত্র: 

log_ab =   1log_ba 

উদাহরণ: log₂8 =   1log₈2


বেস পরিবর্তন সূত্র: 

log_ax = log_bxlog_ba   

উদাহরণ: log₂8 = log₁₀8log₁₀2



ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে লগারিদমের মান নির্ণয় 

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে লগারিদমের মান নির্ণয় করার পদ্ধতি বেশ সহজ এবং সুবিধাজনক। নিচে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে বিভিন্ন ধরনের লগারিদম বের করার ধাপগুলো ব্যাখ্যা করা হলো:

সাধারণ লগারিদম (Common Logarithm) নির্ণয়:

সাধারণ লগারিদম হলো ভিত্তি 10 এর লগারিদম, যা log₁₀ হিসেবে প্রকাশিত হয়।

1. ক্যালকুলেটর চালু করুন:

বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর চালু করুন। অধিকাংশ ক্যালকুলেটরের ক্ষেত্রে সাধারণ লগারিদমের জন্য log বোতামটি থাকবে।

2. সংখ্যাটি প্রবেশ করান:

যেটির লগারিদম নির্ণয় করতে চান সেই সংখ্যা প্রবেশ করান। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি log₁₀1000 নির্ণয় করতে চান, তাহলে ক্যালকুলেটরে 1000 লিখুন।

3. log বোতাম চাপুন:

log বোতামটি চাপুন। ক্যালকুলেটরটি সংখ্যা 1000 এর ভিত্তি 10 এর লগারিদম প্রদর্শন করবে।
উদাহরণ: log₁₀1000 = 3 কারণ 10³ = 1000

প্রাকৃতিক লগারিদম (Natural Logarithm) নির্ণয়:

প্রাকৃতিক লগারিদম হলো ভিত্তি e এর লগারিদম, যা log_e বা ln হিসেবে প্রকাশিত হয়।

1. ক্যালকুলেটর চালু করুন:

বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর চালু করুন। প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য ln বোতামটি থাকবে।

2. সংখ্যাটি প্রবেশ করান:

যেটির প্রাকৃতিক লগারিদম নির্ণয় করতে চান সেই সংখ্যা প্রবেশ করান। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি ln20 নির্ণয় করতে চান, তাহলে ক্যালকুলেটরে 20 লিখুন।

3. ln বোতাম চাপুন:

ln বোতামটি চাপুন। ক্যালকুলেটরটি সংখ্যা 20 এর ভিত্তি e এর লগারিদম প্রদর্শন করবে।
উদাহরণ: ln20

অন্যান্য ভিত্তির লগারিদম নির্ণয়:

অনেক বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর বিভিন্ন ভিত্তির লগারিদম নির্ণয়ের সুবিধা দেয়।

1. ক্যালকুলেটর চালু করুন:

বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর চালু করুন। অনেক ক্যালকুলেটরের log বোতামের পাশাপাশি log_b নামে একটি বাটন থাকতে পারে যেখানে b হলো ভিত্তি।

2. সংখ্যাটি প্রবেশ করান:

যেটির লগারিদম নির্ণয় করতে চান সেই সংখ্যা প্রবেশ করান। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি log₂16 নির্ণয় করতে চান, তাহলে ক্যালকুলেটরে 16 লিখুন।

3. বেস প্রবেশ করান:

ক্যালকুলেটরে ভিত্তি b প্রবেশ করান। উদাহরণস্বরূপ, যদি ভিত্তি 2 হয়, তাহলে 2 প্রবেশ করান।

log_b বোতাম চাপুন:

log_b বোতামটি চাপুন। ক্যালকুলেটরটি প্রদর্শন করবে 16 এর ভিত্তি 2 এর লগারিদম।
উদাহরণ: log₂16 = 4 কারণ 2⁴ = 16