বীজগাণিতিক রাশির সমীকরণ (শ্রেণী - ৭, অভিজ্ঞতা - ১২)

[অনুশীলনী পৃষ্ঠা নং- ২৪৮]

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করো এবং কাগজ কেটে সমাধান করো।

প্রশ্ন-১২.১. রাকার কাছে যত টাকা আছে, তার বন্ধুর কাছে তার চেয়ে আরও 10 টাকা বেশি আছে। দু'জনের টাকার গুণফল 119 হলে, কার কাছে কত টাকা আছে?

Solution:

মনে করি, 

রাকার কাছে x টাকা আছে,

দেওয়া আছে, 

তার বন্ধুর কাছে তার চেয়ে আরও 10 টাকা বেশি আছে অর্থাৎ (x + 10) টাকা আছে 

এবং দু'জনের টাকার গুণফল 119 হলো, 

এখন আমরা সমীকরণটি পাই, 

      x ✕ (x + 10) = 119

বা, x² + 10x = 119 

বা, x² + 10x - 119 = 0 

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে x এর মান বের করি, এটি হলো রাকার টাকার পরিমাণ

দ্বিঘাত সমীকরণটির সূত্র ব্যবহার করে: 

x = -b ± √ (b² - 4ac)           2a

মানগুলো বসিয়ে পাই: 

  x = -10 ± √ 10² - 4 ✕ 1 ✕ (-119)            2 ✕ 1  [এখানে a = 1, b = 10, এবং c = -119]

বা, x = -10 ± √ 100 + 476              2 

বা, x = -10 ± √ 576         2 

বা, x = -10 ± 24      2

এখন, আমাদের কাছে দুটি সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে:

1. x = (-10 + 24)        2 =  14   2 = 7 Tk

2. x = (-10 - 24)        2 = - 34 2 = -17 Tk

যেহেতু x এর মান ঋনাত্বক হতে পারে না, x = 7 টাকা

সুতরাং, রাকা আছে 7 টাকা, এবং 

রাকার বন্ধুর কাছে আছে 7 + 10 = 17 টাকা। (উত্তর)

প্রশ্ন-১২.২. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12 এবং এদের গুণফল 27 সংখ্যাটি কত?

Solution:

ধরা যাক, 

দুই-অঙ্কের সংখ্যাটিকে (10a + b) হিসাবে উপস্থাপন করি, যেখানে 'a' দশক স্থানীয় সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং 'b' একক স্থানীয় সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে।

দেওয়া আছে, 

অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 12, অতএব এই সমীকরণটি পাওয়া যায়-

a + b = 12 .....(1)

এবং আরো দেওয়া আছে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল 27, অতএব এই সমীকরণটিও পাওয়া যায়- 

ab = 27 .....(2)

সমীকরণ (1) থেকে, আমরা a কে এভাবে প্রকাশ করতে পারি-

a = 12 - b 

সমীকরণ (1) থেকে, 'a' এর মান বসিয়ে পাই-

     ab = 27

বা, (12 - b)b = 27

বা, 12b - b² = 27 

বা, b² - 12b + 27 = 0  [দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করি]

এখন এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে b এর মান বের করি, দ্বিঘাত সমীকরণটির সূত্র ব্যবহার করে পাই:

x = -b ± √ (b² - 4ac)       2a

মানগুলো বসিয়ে পাই: 

      b = 12 ± √ 12² - 4 ✕ 1 ✕ 27        (2 ✕ 1)

বা, b = 12 ± √ 144 - 108             2

বা, b = 12 ± √ 36       2

বা, b = 12 ± 6    2

এখন, আমাদের কাছে 'b' এর জন্য দুটি সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে:

b = 12 + 6    2 

b = 18 2 

b = 9 

বা,

b = (12 - 6)     2 

b =   6    2 

b = 3

এখন, আমরা সমীকরণ (1) ব্যবহার করে 'a' এর সংশ্লিষ্ট মানগুলি পেতে পারি:

যদি b = 9, তাহলে, a = 12 - 9 = 3

যদি b = 3, তাহলে, a = 12 - 3 = 9

সুতরাং, দুটি সম্ভাব্য দুই অঙ্কের সংখ্যা হলো 39 এবং 93।

প্রশ্ন-১২.৩. একটি আয়তাকৃতি ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 132 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্যকে 6 মিটার কমালে ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

Solution:

মনে করি, 

আয়তাকার কক্ষের মূল দৈর্ঘ্য L মিটার 

এবং মূল প্রস্থ W মিটার

দেওয়া আছে, 

আয়তাকৃতি ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 132 বর্গমিটার। 

অতএব এই সমীকরণটি পাওয়া যায়:

L ✕ W = 132 .....(1)

দৈর্ঘ্য 6 মিটার হ্রাস করার পরে এবং প্রস্থ দ্বিগুণ করার পরে, 

নতুন দৈর্ঘ্য (L - 6) মিটার এবং নতুন প্রস্থ 2W মিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। 

সুতরাং, এই সমীকরণটি পাওয়া যায়:

(L - 6) ✕ (2W) = L ✕ W .....(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই:

     (L - 6) ✕ (2W) = L ✕ W

বা, 2W(L - 6) = LW

বা, 2WL - 12W = LW

বা, 2WL - LW = 12W

বা, L(2W - W) = 12W

বা, L ✕ W = 12W   [সমীকরণ (1) থেকে, আমরা জানি যে L ✕ W = 132]

বা, 132 = 12W

বা, W = 132 12

∴ W = 11

এখন যেহেতু আমরা W-এর মান পেয়েছি, আমরা L এর মান পেতে এটিকে আবার সমীকরণে (1) প্রতিস্থাপন করতে পারি,

L ✕ 11 = 132

or. L = 132 11

∴ L = 12

সুতরাং, মেঝেটির মূল দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং মূল প্রস্থ 11 মিটার. (উত্তর)

প্রশ্ন-১২.৪. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 মিটার ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর 7 মিটার। ঐ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা কত?

Solution:

Answer will be posted soon. Please wait...

প্রশ্ন-১২.৫. একটি ত্রিভুজের উচ্চতা তার ভূমির তিনগুণ অপেক্ষা 2 সেমি কম। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

Solution:

দেওয়া আছে, 

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি,

এবং ত্রিভুজের উচ্চতা তার ভূমির তিনগুণ অপেক্ষা 2 সেমি কম, 

অতএব এই সমীকরণটি পাওয়া যায়:

h = 3b - 2

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো-

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =  1  2 ✕ ভূমি ✕ উচ্চতা

বা, 20 =  1  2 ✕ b ✕ (3b - 2)  [প্রদত্ত মান বসিয়ে]

বা, 20 =  1  2 ✕ 3b² - 2b

বা, 40 = 3b² - 2b

বা, 3b² - 2b - 40 = 0

এখন, আমরা b- এর এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে পারি। দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে পাই

x = -b ± √ (b² - 4ac)       2a

মানগুলো বসিয়ে পাই: 

b = -(-2) ± √ (-2)² - 4 ✕ 3 ✕ (-40)          (2 ✕ 3)

বা, b = 2 ± √ 4 + 480         6

বা, b = 2 ± √ 484       6

বা, b = 2 ± 22   6

যেহেতু b এর মান ঋণাত্বক হতে পারে না, তাই আমরা ধনাত্বক সমাধান গ্রহণ করি:

    b = 2 + 22   6 

বা, b =   24     6 

∴ b = 4

এখন, আমরা সমীকরণ ব্যবহার করে ত্রিভুজের উচ্চতা পেতে পারি,

 

     h = 3b - 2

বা, h = 3 ✕ 4 - 2 

বা, h = 12 - 2 

∴ h = 10

সুতরাং, ত্রিভুজের উচ্চতা 10 সেমি। (উওর) 

প্রশ্ন-১২.৬.  x² + 6x - 7 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করো।

Solution:

Answer will be posted soon. Please wait...