প্রশ্ন-৪.১. তিনটি বাস্তব উদাহরণ থেকে বহুপদী রাশি গঠন করো।
Solution:
১. খাবারের মূল্য: খাবারের হোটেল এ প্রতিটি খাবারের মূল্যে তালিকা থাকে, প্রতিটি যুক্ত আইটেমের জন্য অতিরিক্ত খরচ আছে (যেমন, কোমল পানিও, ডিজার্ট, ইত্যাদি)। আমরা মূল খাবারের মূল্যকে 'b' এবং প্রতিটি যুক্ত আইটেমের জন্য অতিরিক্ত খরচকে 'c' দ্বারা চিহ্নিত করি। যদি আপনি n অতিরিক্ত আইটেম অর্ডার করেন, আপনার খাবারের মোট মূল্যটি নিম্নলিখিত হিসাবে বহুপদী রাশি গঠন করা যেতে পারে:
মোট মূল্য, C = b + cn, যেখানে C হলো খাবারের মোট মূল্য এবং n হলো অতিরিক্ত আইটেমগুলির সংখ্যা।
২. জমির ক্ষেত্রফল: ধরা যাক আমাদের একটি জমি আছে যার দৈর্ঘ্য (L) এবং প্রস্থ (W)। জমির ক্ষেত্রফল (A) তার দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের গুণফল হিসেবে বহুপদী রাশি গঠন করা যেতে পারে।
ক্ষেত্রফল, A = LW
৩. একটি চলমান বস্তু দ্বারা পরিচালিত দূরত্ব: ধরা যাক একটি গাড়ি একই গতিতে v মিটার প্রতি সেকেন্ডে চলছে। গাড়ির দূরত্ব সময় t সেকেন্ডে পরিবর্তন করা যেতে পারে তার গতি (v) এবং সময় (t) এর গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
ii) সমমাত্রিক, প্রতিসম্ বহুপদী রাশি কিন্তু চক্রক্রমিক নয়
iii) সমমাত্রিক, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি কিন্তু প্রতিসম নয়
iv) প্রতিসম্, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি, কিন্তু সমমাত্রিক নয়।
Solution:
i) সমমাত্রিক, প্রতিসম, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি
এখানে একটি উদাহরণ যা সমমাত্রিক, প্রতিসম, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি এই তিনটি শর্ত পূরণ করে:
f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 − 3xyz
ii) সমমাত্রিক, প্রতিসম বহুপদী রাশি কিন্তু চক্রক্রমিক নয়
এখানে একটি বহুপদী রাশির উদাহরণ দেওয়া হলো যা সমমাত্রিক এবং প্রতিসম কিন্তু চক্রক্রমিক নয়:
f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz
iii) সমমাত্রিক, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি কিন্তু প্রতিসম নয়
এখানে একটি বহুপদীর উদাহরণ দেওয়া হল যা সমমাত্রিক, চক্রক্রমিক কিন্তু প্রতিসম নয়:
f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 − 3xyz
iv) প্রতিসম, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি কিন্তু সমমাত্রিক নয়
এখানে একটি বহুপদীর উদাহরণ দেওয়া হল যা প্রতিসম, চক্রক্রমিক কিন্তু সমমাত্রিক নয়:
f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx
প্রশ্ন-৪.৪. i) ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে x4 - 3x2 + 1 কে 2x2 - 3 দ্বারা ভাগ করো।
ii) ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে 5x3 - 3x - 2 কে 3x - 2 দ্বারা ভাগ করো এবং ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে তোমার পাওয়া ভাগশেষের সত্যতা যাচাই করো।
Solution:
i) ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে x4 - 3x2 + 1 কে 2x2 - 3 দ্বারা ভাগ করো।
2x2-3) x4 - 3x2 + 1 ( 12x2 – 34
-(x4 – 32x2)
_____________________
-32x2 + 1
-(-32x2 + 94)
_____________________
-54
∵ নির্ণেয় ভাগফল 12x2 – 34 – 5/42x2-3
ii) ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে 5x3 - 3x - 2 কে 3x - 2 দ্বারা ভাগ করো এবং ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে তোমার পাওয়া ভাগশেষের সত্যতা যাচাই করো।
3x – 2 ) 5x3 – 3x – 2 ( 53x2 + 10 9x – 727
– (5x3 – 10 3x2)
_____________________________
10 3x2 – 3x
-( 10 3x2 – 20 9x)
______________________________
-79x – 2
-(-79x + 1427)
________________________________
-68 27
∵ ভাগশেষ -68 27
প্রাপ্ত ভাগশেষের সত্যতা যাচাই করি ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে:
এখানে, P(x) = 5x3 – 3x – 2
এবং 3x – 2, P(x) এর একটি উৎপাদক।
তাহলে, x = 23 বসিয়ে P(x) এর মান নির্ণয় করি।
P(23) = 5(23)3 – 3(23) – 2
= 5.827 – 2 – 2
= 4027 – 4
=40 - 108 27
= -68 27
প্রাপ্ত ভাগশেষের সমান [প্রমাণিত]
প্রশ্ন-৪.৫. নিচের বহুপদী রাশিগুলোর কোনটি বাস্তব মৌলিক রাশি তা নির্ণয় করো। যেগুলো বাস্তব মৌলিক রাশি নয় সেগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
i) x2 - 5x – 14
ii) x2 - 5x + 2
iii) 2x2 + 3x + 1
iv) 3x2 + 4x – 1
Solution:
i) x2 - 5x - 14
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
x2 - 5x – 14
= x2 – 7x + 2x -14
= x(x-7) + 2(x-7)
= (x-7)(x+2)
মনে করি, P(x) = x2 - 5x – 14
এখানে, x = 7 হলে,
P(7) = 72 – 5.7 – 14
= 49 – 35 – 14
= 49 – 49
= 0
সুতরাং, (x-7), প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক, অর্থাৎ x2 - 5x – 14 একটি বাস্তব মৌলিক রাশি নয়।
ii) x2 - 5x + 2
আমরা জানি,
ax2+bx+c = 0 এর ক্ষেত্রে,
x = -b ± √ (b2-4ac) 2a
তাহলে, x2 - 5x + 2 = 0 এর ক্ষেত্রে,
x = 5 ± √ {(-5)2-4.1.2} 2.1
বা, x = 5 ± √ 17 2
এখানে √ 17 একটি অমূলদ সংখ্যা, সেহেতু x এর এই মানের জন্য x2 - 5x + 2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না। এমতাবস্থায়, x2 - 5x + 2, [x ≠ 0] দ্বিঘাত রাশিটি একটি বাস্তব মৌলিক রাশি।
iii) 2x2 + 3x + 1
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
2x2 + 3x + 1
= 2x2 + 2x + x +1
= 2x(x+1) + 1(x+1)
= (x+1)(2x+1)
মনে করি, P(x) = 2x2 + 3x + 1
এখানে, x = -1 হলে,
P(-1) = 2.(-1)2 + 3.(-1) + 1
= 2 – 3 +1
= 3 – 3
= 0
সুতরাং, (x+1), প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক, অর্থাৎ 2x2 + 3x + 1 একটি বাস্তব মৌলিক রাশি নয়।
iv) 3x2 + 4x – 1
আমরা জানি,
ax2+bx+c = 0 এর ক্ষেত্রে,
x = -b ± √ (b2-4ac) 2a
তাহলে, 3x2 + 4x - 1 = 0 এর ক্ষেত্রে,
x = -4 ± √ (42-4.3.-1) 2.3
বা, x = -4 ± √ 28 6
এখানে √ 28 একটি অমূলদ সংখ্যা, সেহেতু x এর এই মানের জন্য 3x2 + 4x - 1 কে সরল বহুপদী রাশির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না। এমতাবস্থায়, 3x2 + 4x -1, [x ≠ 0] দ্বিঘাত রাশিটি একটি বাস্তব মৌলিক রাশি।
প্রশ্ন-৪.৬. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো:
i) x3 - 5x + 4
ii) x3 - 3x2 + 3x - 2
iii) x5 - 16xy4
Solution:
i) x3 - 5x + 4
মনে করি, P(x) = x3 - 5x + 4
এখানে, x = 1 হলে,
P(1) = 13 - 5.1 + 4 = 1 – 5 + 4 = 0
অতএব, (x-1) হলো x3 - 5x + 4 এর একটি উৎপাদক।
সুতরাং,
x3 - 5x + 4
= x2(x-1) + x(x-1) - 4(x-1)
= (x-1)(x2 + x - 4) [Answer]
ii) x3 - 3x2 + 3x - 2
মনে করি, P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 2
এখানে, x = 2 হলে,
P(2) = 23 – 3.22 + 3.2 – 2
= 8 – 12 + 6 – 2
= 14 – 14
= 0
অতএব, (x-2) হলো x3 - 3x2 + 3x - 2 এর একটি উৎপাদক।
সুতরাং, x3 - 3x2 + 3x - 2
= x2(x-2) - x(x-2) + 1(x-2)
= (x-2)(x2 - x + 1) [Answer]
iii) x5 - 16xy4
x5 - 16xy4
= x(x4 - 16y4)
= x{x4 - (2y)4}
= x[{(x2)2 - {(2y)2}2]
= x{x2+(2y)2}{(x2-(2y)2}
= x(x2+4y2)(x+2y)(x-2y) [Answer]
প্রশ্ন-৪.৭. একটি ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য অন্য একটি ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্যের বিপরীত গুণিতক। চৌবাচ্চা দুইটির দৈর্ঘ্যের যোগফল 3 ফুট হলে, তাদের আয়তনের যোগফল কত?
Solution:
মনে করি, ১ম চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = x
প্রশ্নমতে, ২য় চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 1x এবং, x + 1 x = 3
বা, x2 + 1 = 3x [উভয় পাশে x দ্বারা গুণ করে]
বা, x2 - 3x + 1 = 0
এখানে, আমরা জানি,
ax2 + bx + c = 0 এর জন্য,
x = -b ± √ (b2-4ac) 2a
অতএব, x2 - 3x + 1 = 0 এর জন্য,
x = 3 ± √ {(-3)2-4.1.1} 2.1
বা, x = 3 ± √ 9-4 2
বা, x = 3 ± √ 5 2
সুতরাং, x = 0.3819 ফুট (প্রায়) অথবা, x = 2.6180 ফুট (প্রায়)
No comments:
Post a Comment