লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ (শ্রেণী - ৯, অভিজ্ঞতা - ৩)

• Topics
• MCQ Test
• Exercise Solution

প্রশ্ন-3.1. বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে মান নির্ণয় করো: 

i)  $\mathbf{2}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{343}}\mathbf{+}\mathbf{2}\sqrt[\mathbf{5}]{\mathbf{243}}\mathbf{-}\mathbf{12}\sqrt[\mathbf{6}]{\mathbf{64}}$  

ii)  y^{a + b}  y^2c  ✕  y^{b + c}  y^2a  ✕  y^{c + a}  y^2b

Solution:

i)  $\mathbf{2}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{343}}\mathbf{+}\mathbf{2}\sqrt[\mathbf{5}]{\mathbf{243}}\mathbf{-}\mathbf{12}\sqrt[\mathbf{6}]{\mathbf{64}}$ 

= 2 ³√(7)³ + 2 ⁵√(3)⁵ – 12 ⁶√(2)⁶

= 2(7³)¹³ + 2(3⁵)¹⁵ – 12(2⁶)¹⁶

= 2 ✕ 7 + 2 ✕ 3 – 12 ✕ 2 

= 14 + 6 – 24 

= -4 (Answer)

ii)  y^{a + b}  y^2c  ✕  y^{b + c}  y^2a  ✕  y^{c + a}  y^2b

= y^a+b-2c ✕ y^b+c-2a ✕ y^c+a-2b

= y^{a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b}

= y⁰

= 1 (Answer)

প্রশ্ন-3.2. বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ করো যে,

( z^az^b )^{a + b - c}  ✕  (z^bz^c )^{b + c - a}  ✕  (z^cz^a )^{c + a - b}

Solution:

( z^az^b )^{a + b - c}  ✕  (z^bz^c )^{b + c - a}  ✕  (z^cz^a )^{c + a - b}

= z^(a-b)(a+b-c) ✕ z^(b-c)(b+c-a) ✕ z^(c-a)(c+a-b)

= z^{(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)}

এখানে, 

(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b) 

= (a² - ab + ab - b² - ca + bc) + (b² - bc + bc - c² - ab + ca) + (c² - ca     + ca - a² - bc + ab)

= (a² - b² - ca + bc) + (b² - c² - ab + ca) + (c² - a² -bc + ab) 

= (a² - b² + b² - c² + c² - a²) + (-ca + bc – ab + ca – bc + ab) 

= 0 + 0 

= 0

সুতরাং, 

    z^{(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)} 

 = z⁰ 

 = 1     [প্রমাণিত]

প্রশ্ন-3.3. নিচের সূচক সমতাকে লগের মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে x এর মান বের করো। 

i) 2^x = 64 

ii) (1.2)^x = 100 

iii) 7^x = 5 

iv) (23)^x = 7

Solution:

(i) 2^x = 64 

বা, 2^x = 64 

বা, log₂(2^x) = log₂(64) [উভয় পাশে log₂ নিয়ে ] 

বা, log₂ (2^x) = log₂(64) 

বা, x.log₂2 = log₂(64) 

বা, x.1 = log₂(64) [যেহেতু, log_aa = 1] 

বা, x.1 = 6 [সাইন্টিফিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে] 

বা, x = 6   [Answer] 

(ii) (1.2)^x = 100 

সমাধানঃ (1.2)^x = 100 

বা, log_1.2(1.2^x) = log_1.2(100) [উভয় পাশে log1.2 নিয়ে ] 

বা, x.log_1.21.2 = log_1.2(100) 

বা, x.1 = log_1.2(100) [যেহেতু, log_aa = 1] 

বা, x.1 = 25.2585 (প্রায়) [সাইন্টিফিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে] 

বা, x = 25.2585 (প্রায়)   [Answer] 

(iii) 7^x = 5 

সমাধানঃ 7^x = 5 

বা, log₇(7^x) = log₇(5) [উভয় পাশে log₇ নিয়ে পাই] 

বা, log₇(7^x) = log₇(5) 

বা, x.log₇7 = log₇(5)

বা, x.1 = log₇(5) [যেহেতু, log_aa = 1]

বা, x.1 = 0.8271 [সাইন্টিফিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

বা, x = 0.8271 (প্রায়)  [Answer]

(iv) (23)^x = 7

সমাধানঃ (23)^x = 7

বা, log_2/3(23)^x = log_2/3(7) [উভয় পাশে log_2/3 নিয়ে]

বা, x.log_2/3(23) = log_2/3(7)

বা, x.log_2/3(23) = log_2/3(7)

বা, x.1 = log_2/3(7) [যেহেতু, log_aa = 1]

বা, x.1 = -4.799 [সাইন্টিফিক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

বা, x = -4.799 (প্রায়) [Answer]

প্রশ্ন-3.4. 10% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হারে চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত বছরে 3 গুণ হবে?

Solution:

মনে করি, 

     প্রারম্ভিক মূলধন = P, 

     চক্রবৃদ্ধি মূলধন A = 3P এবং 

     চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার r = 10% =  10100 = 0.1

সূত্র থেকে পাই, 

3P = P(1 + 0.1)ⁿ  [চক্রবৃদ্ধির সূত্র, A = P(1 + r)ⁿ ] 

বা, 3 = (1+0.1)ⁿ   [উভয় পাশে P দ্বারা ভাগ করে]

বা, 3 = (1.1)ⁿ 

বা, log_1.13 = log_1.1(1.1)ⁿ

বা, n. log_1.1(1.1) = log_1.13     [পার্শ্বপরিবর্তন করে]

বা, n. 1 = log_1.13   [আমরা জানি, log_aa = 1]

or, n ≈ 11.5267    

অতএব, মূলধন প্রায় 11.5267 বছরে তিন গুণ হবে।  (উওর)

প্রশ্ন-3.5. করোনা ভাইরাসের নাম তোমরা সবাই জানো। এই ভাইরাস দ্রুত ছড়ায়। যদি করোনা ভাইরাস 1 জনের থেকে প্রতিদিন 3 জনে ছড়ায়, তবে 1 জন থেকে 1 মাসে মোট কতজন করোনা ভাইরাসে আক্রান্ত হবে? কত দিনে 1 কোটি মানুষ আক্রান্ত হবে?

Solution:

এখানে দেয়া আছে, দিন দিন আক্রান্ত মানুষের সংখ্যা তিনগুণ হয়।

প্রথম দিন আক্রান্ত মানুষ একজন

দিন 1: 1 person = 3⁰

দিন 2: 3 জন (1 ✕ 3) = 3¹

দিন 3: 9 জন (3 ✕ 3) = 3²

দিন 4: 27 জন (9 ✕ 3) = 3³

...

তাহলে, আক্রান্ত মানুষের সংখ্যা অনুসারে 3ⁿ, প্যাটার্ন অনুসরণ করে, যেখানে n হল দিনের সংখ্যা।

এখন, আমরা চাই এক মাসে, যা প্রায় 30 দিন, কত মানুষ আক্রান্ত হবে তা জানতে।

30 দিনের এর জন্য গণনা করা যাক:

আক্রান্ত মানুষের সংখ্যা = 3³⁰ ≈ 205891132 জন

সুতরাং, 30 দিনে আক্রান্ত মানুষের সংখ্যা হলো 205891132 জন।(উওর)

এখন, দেখা যাক 1 কোটি (10000000) মানুষ কত দিনে আক্রান্ত হবে।

আমাদের সমীকরণ সমাধান করতে হবে:

3^x = 10000000

বা, log(3) ^x = log(10000000) [উভয় পাশে লগকে গ্রহণ করে]

বা, x . log(3) = log(10000000)

বা, x = log(10000000)     log(3)

বা, x =       70.47121   [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

বা, x ≈ 14.52 days

তাহলে, প্রায় 14.52 দিন পরে, 1 কোটি মানুষ করোনাভাইরাসে আক্রান্ত হবে।  (উওর)

প্রশ্ন-3.6. সেতুর চাচার 3 বিঘা জমি আছে। তিনি তার জমির উর্বরতা ঠিক রাখার জন্য প্রতিবছর 30 কেজি জৈব সার প্রয়োগ করেন। প্রতি কেজি সারে যদি প্রতি কাঠা জমির উর্বরতা 3% বৃদ্ধি করে, তবে সেতুর চাচার জমির অবচয় বের করো? তিনি যদি জমিতে সার প্রয়োগ না করতেন, তাহলে কত বছর পরে তার জমিতে আর কোন ফসল হবে না?

Solution:

Answer will be posted soon. Please wait...

প্রশ্ন-3.7. 1918 সালের 8 জুলাই মৌলভীবাজারের শ্রীমঙ্গলে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় রিক্টার স্কেলে তার মাত্রা 7.6 এবং 1997 সালের 22 নভেম্বর চট্টগ্রামে যে ভূমিকম্প সংঘটিত হয় যার মাত্রা 6.0 রেকর্ড করা হয়। শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পটি চট্টগ্রামের ভূমিকম্পের ভূমিকম্পের চেয়ে কতগুণ বেশি শক্তিশালী ছিল?

Solution:

মনে করি,

I₁ = শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পের তীব্রতা

I₂ = চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং

S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা

আমরা জানি সূত্র, ভূমিকম্পের মাত্রা, R= log₁₀( IS) 

প্রশ্নমতে দেওয়া আছে, 

রিক্টার স্কেলে শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পের মাত্রা = log₁₀(I₁S) = 7.6 ....(i)

রিক্টার স্কেলে চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের মাত্রা= log₁₀(I₂S) = 6 ......(ii)

এখানে (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

log₁₀(I₁S) - log₁₀(I₂S) = 7.6 – 6

বা, (log₁₀I₁ - log₁₀S) – (log₁₀I₂ - log₁₀S) = 1.6

বা, log₁₀I₁ - log₁₀S – log₁₀I₂ + log₁₀S = 1.6

বা, log₁₀I₁ – log₁₀I₂ = 1.6

বা, log₁₀(I₁I₂) = 1.6

সূচকের মাধ্যম এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়,

10^1.6 = (I₁I₂)

বা, (I₁I₂) = 39.8107

বা, I₁ = 39.8107 × I₂

উওর: শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পটি চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের চেয়ে 39.8107 গুণ বেশি শক্তিশালী ছিল।

প্রশ্ন-3.8. কোন এক সময় জাপানে একটি ভূমিক সংঘটিত হয়, রিক্টার স্কেলে যার মাত্রা 8.0 রেকর্ড করা হয়। ওই একই বছরে সেখানে আরও একটি ভূমিকম্প সংঘটিত হয় যা পূর্বের চেয়ে 6 গুণ বেশি শক্তিশালী। রিক্টার স্কেলে পরবর্তী ভূমিকম্পের মাত্রা কত ছিল?

Solution:

যদি জাপানের প্রথম ভূমিকম্পের মাত্রা 8 ছিলো, এবং দ্বিতীয়টি 6 গুণ বেশি শক্তিশালী হয়েছিল, তবে আমরা এর মাত্রা নিম্নলিখিত এভাবে গণনা করতে পারি:

দ্বিতীয় ভূমিকম্পের মাত্রা = প্রথম ভূমিকম্পের মাত্রা + log10(6)

দ্বিতীয় ভূমিকম্পের মাত্রা = 8 + log10(6)

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে:

দ্বিতীয় ভূমিকম্পের মাত্রা ≈ 8 + 0.778 = 8.778

অতএব, রিক্টার স্কেলে পরের ভূমিকম্পের মাত্রা প্রায়ই 8.778। (উত্তর)

প্রশ্ন-3.9. 1999 সালের জুলাই মাসে কক্সবাজারের মহেশখালীতে যে ভূমিকম্প হয় তার মাত্রা রেকর্ড করা হয়েছিল 5.2 এবং 2023 সালের 6 ফেব্রুয়ারি তুরস্কের দক্ষিণাংশে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় তা মহেশখালীর ভূমিকম্পের তীব্রতার চেয়ে 398 গুন বেশি শক্তিশালী ছিল। তুরস্কের দক্ষিণাংশের ভূমিকম্পের মাত্রা কত ছিল?

Solution:

যদি কক্সবাজারের মহেশখালির ভূমিকম্পের মাত্রা 5.2 হয়, এবং তুরস্কের দক্ষিণাংশে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় তা মহেশখালির ভূমিকম্পের তীব্রতার চেয়ে 398 গুণ বেশি শক্তিশালী হয়, তবে আমরা এর মাত্রা নিম্নলিখিত এভাবে গণনা করতে পারি:

তুরস্কের ভূমিকম্পের মাত্রা = কক্সবাজারের ভূমিকম্পের মাত্রা + log10(398)

তুরস্কের ভূমিকম্পের মাত্রা = 5.2 + log10(398)

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে:

তুরস্কের ভূমিকম্পের মাত্রা ≈ 5.2 + 2.6 = 7.8

অতএব, রিক্টার স্কেলে তুরস্কের ভূমিকম্পের মাত্রা প্রায়ই 7.8।