অনুক্রম ও ধারা (শ্রেণী - ৯, অভিজ্ঞতা - ২)

• Topics
• MCQ Test
• Exercise Solution

প্রশ্ন-২.১. নিচের অনুক্রমগুলোর সমান্তর, গুণোত্তর, ফিবোনাচ্চি নাকি কোনটি নয়? কেন? সাধারণ পদ নির্ণয়সহ ব্যাখ্যা করো 

(i) 2, 5, 10, 17,……  

(ii) -2, 7, 12, 17,……  

(iii) -12, 24, -48, 96,……  

(iv) 13, 21, 34, 55,……  

(v)  5, -3, 95, -2725,..... 

(vi)  13,  23,  43,  83,......

Solution:

(і) প্রদত্ত ধারা: 2, 5, 10, 17,...

সমান্তর ধারা: এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়। কারণ-

দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 5 - 2 = 3, 

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 10 - 5 = 5, 

চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = 17 - 10 = 7.

আবার,

গুণোত্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি গুণোত্তর ধারা নয়। যেমন-

  দ্বিতীয় পদ  প্রথম পদ = 52 = 2.5, 

  তৃতীয় পদ   দ্বিতীয় পদ = 10  5 = 2, 

   চতুর্থ পদ  তৃতীয় পদ  = 17 10 = 1.7.

আবার,

ফিবোনাচ্চি ধারা: এটি ফিবোনাচ্চি নয় কারণ এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির যে কোনো পদ পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান নয়। যেমন-

10 (তৃতীয় পদ) ≠ 2 (প্রথম পদ) + 5 (দ্বিতীয় পদ) 

17 (চতুর্থ পদ) ≠ 10 (তৃতীয় পদ) + 5 (দ্বিতীয় পদ) 

অতএব, এই ধারাটি একটি এলোমেলো ধারা, এর মধ্যে সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা বা ফিবোনাচ্চি ধারার কোনো বৈশিষ্ট নেই।

(ⅱ) প্রদত্ত ধারা: -2, 7, 12, 17,...

সমান্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অন্তর-

দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 7 - (-2) = 9, 

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 12 - 7 = 5, 

চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = 17 - 12 = 5

সুতরাং, এটি একটি সমান্তর ধারা নয়।

গুণোত্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত-

 

111 =  7-2 = -3.5, 

 

222 = 12 7 ≈ 1.71, 

 

333 = 1712 ≈ 1.42.

এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি গুণোত্তর ধারা নয়।

ফিবোনাচ্চি ধারা: এটি ফিবোনাচ্চি ধারা নয় কারণ এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির যে কোনো পদ পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান নয়। যেমন-

12 ≠ 7 + (-2) = 5, 

17 ≠ 12 + 7.

এই ধারাটিতে সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা বা ফিবোনাচ্চি ধারার কোনো বৈশিষ্ট নেই। প্রদত্ত ধারাটি ভিন্ন কোনো ধারা।

(iii) প্রদত্ত ধারা: -12, 24, -48, 96,...

সমান্তর ধারা:এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।

পদগুলোর সাধারণ অন্তর-

দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 24 - (-12) = 36,

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = -48 - 24 = -72,

চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = 96 - (-48) = 144.

গুণোত্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি গুণোত্তর ধারা নয়।

  দ্বিতীয় পদ  প্রথম পদ  =  24-12 = -2,

  তৃতীয় পদ  দ্বিতীয় পদ  = -48 24 = -2,

  চতুর্থ পদ  তৃতীয় পদ  =  96-48 = -2.

এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত অভিন্ন, তাই এটি গুণোত্তর ধারা।

ফিবোনাচ্চি ধারা: এটি ফিবোনাচ্চি ধারা নয় কারণ এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির যে কোনো পদ পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান নয়। যেমন-

48 ≠ 24 + (-12) = 24 -12 = 12 

এই ধারাটিতে ফিবোনাচ্চি ধারার কোনো বৈশিষ্ট নেই।

(iv) প্রদত্ত ধারা: 13, 21, 34, 55,...

ধারাটি সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা, ফিবোনাচ্চি ধারা বা এগুলির মধ্যে কোনটিই কিনা তা নির্ধারণ করতে, আমরা ধারাবাহিক পদের অন্তর এবং ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে অনুপাতের পার্থক্যগুলি পরীক্ষা করবো।

সমান্তর ধারা: এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর নির্ণয় করি:

দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 21 - 13 = 8,

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 34 - 21 = 13,

চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = 55 - 34 = 21

এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।

গুণোত্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত নির্ণয় করি:

  দ্বিতীয় পদ  প্রথম পদ  = 21 13 ≈ 1.615,

  তৃতীয় পদ  দ্বিতীয় পদ  = 34 21 ≈ 1.619,

  চতুর্থ পদ  তৃতীয় পদ  = 55 34 ≈ 1.618.

পরপর পদগুলির মধ্যে অনুপাত কাছাকাছি কিন্তু ঠিক স্থির নয়, ইঙ্গিত করে যে গুণোত্তর ধারা নয়।

ফিবোনাচ্চি ধারা: একটি ফিবোনাচ্চি ধারা কিনা তা নির্ধারণ করতে, আমরা প্রতিটি পদ (তৃতীয় পদ থেকে শুরু) পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফল কিনা তা পরীক্ষা করব-

34 (তৃতীয় পদ) = 21 (দ্বিতীয় পদ) + 13 (প্রথম পদ)

55 (চতুর্থ পদ) = 34 (তৃতীয় পদ) + 21 (দ্বিতীয় পদ)

সুতরাং, এই ধারাটি একটি ফিবোনাচ্চি ধারা।

(v) প্রদত্ত ধারা: 5, -3, 95, -2725,....

সমান্তর ধারা: এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।

পদগুলোর সাধারণ অন্তর-

দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = -3 - 5 = -8,

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 9 5 - (-3) =   9 5 + 3 =   9 + 15    5 =  24  5 ,

চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = -27  25 - 9 5 =   -27  25 - 45 25 =   -27 - 45     25 =  -72  25 .

এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।

গুণোত্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত-

 দ্বিতীয় পদ   প্রথম পদ  = -3  5 =   -3  5 ,

  তৃতীয় পদ  দ্বিতীয় পদ  = 9 5 ÷ (-3) =   9 5 ✕ -1  3 =   -3  5,

  চতুর্থ পদ  তৃতীয় পদ  = -27  25 ÷ 9 5 =   -27  15 ✕ 5 9 =  -3  5

এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত অভিন্ন, তাই এটি গুণোত্তর ধারা।

ফিবোনাচ্চি ধারা: এটি ফিবোনাচ্চি ধারা নয় কারণ এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির যে কোনো পদ পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান নয়। যেমন-

9 5 ≠ 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 

এই ধারাটিতে ফিবোনাচ্চি ধারার কোনো বৈশিষ্ট নেই।

(vi) প্রদত্ত ধারা: 13,  23,  43,  83,......

ধারাটি সমান্তর ধারা, গুণোত্তর ধারা, ফিবোনাচ্চি ধারা বা এগুলির মধ্যে কোনটিই কিনা তা নির্ধারণ করতে, আমরা ধারাবাহিক পদের অন্তর এবং ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে অনুপাতের পার্থক্যগুলি পরীক্ষা করবো।

সমান্তর ধারা: এই ধারায় পর পর পদগুলোর সাধারণ অন্তর নির্ণয় করি:

দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 2 3 - 1 3 =   2 - 1   3 =  1 3 ,

তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 4 3 - 2 3 =   4 - 2   3 =  2 3 ,

চতুর্থ পদ - তৃতীয় পদ = 8 3 - 4 3 =  8 - 4   3 =   4 3 

গুণোত্তর ধারা: এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত-

 দ্বিতীয় পদ   প্রথম পদ  = 2 3 ÷ 1 3 =   23 ✕ 31 = 2,

  তৃতীয় পদ  দ্বিতীয় পদ  = 4 3 ÷ 2 3 =   43 ✕ 32 = 2,

  চতুর্থ পদ  তৃতীয় পদ  = 8 3 ÷ 4 3 =   83 ✕ 34 = 2

এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত একই, তাই এটি গুণোত্তর ধারা।

ফিবোনাচ্চি ধারা: একটি ফিবোনাচ্চি ধারা কিনা তা নির্ধারণ করতে, আমরা প্রতিটি পদ (তৃতীয় পদ থেকে শুরু) পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফল কিনা তা পরীক্ষা করব- 

 4  3 (তৃতীয় পদ) = (প্রথম পদ + দ্বিতীয় পদ) 

                         =  1  3 +  2  3 

                         = 1 + 2   3 

                         =  3  3 

                         = 1

 8  3 (চতুর্থ পদ) = দ্বিতীয় পদ + তৃতীয় পদ 

                        =  2  3 +  4  3 

                        = 2 + 4   3 

                        =  6  3 

                        = 2

সুতরাং, এই ধারাটি ফিবোনাচ্চি ধারা নয়।

প্রশ্ন-২.২. নিচের অনুক্রমগুলোর শুন্যস্থান পূরণ করো। 

(i) 2, 9, 16, ____,____, 37,____.  

(ii) -35, ____, ____, -5, 5, ____. 

(iii) ____,____, ____, 5, -4,____. 

(iv) ____, 10x², 50x³,____, ____.

Solution:

অনুক্রমগুলোর শুন্যস্থান পূরণ করতে হবে-

(i) 2, 9, 16, _, _, 37, _

এই ধারায় পদগুলোর সাধারণ অন্তর একই তাই এটি সমান্তর ধারা। সমান্তর ধারার সূত্র ব্যবহার করে এর সমাধান করা যাবে।  

সমান্তর ধারায়, nতম পদের সূত্র, 

a_n= a₁ + (n − 1)d 

এখানে, 

a₁ হলো প্রথম পদ, 

n হলো পদসংখ্যা, এবং 

d হলো সাধারণ অন্তর

দেওয়া আছে,:

a₁ = 2

a₂ = 9

a₃ = 16

a₆ = 37

সাধারণ অন্তর, d:

d= a₂ − a₁ = 9 − 2 = 7 

শূন্যস্থানের বিভিন্ন পদ নির্ণয় করি, সূত্রমতে, a_n= a₁ + (n − 1)d 

a₄ = a₁ + (4 − 1) d = 2 + (3)7 = 2 + 21 = 23

a₅ = a₁ + (5 − 1) d = 2 + (4)7 = 2 + 28 = 30

a₇ = a₁ + (7 − 1) d = 2 + (6)7 = 2 + 42 = 44

সুতরাং, সম্পূর্ণ ধারাটি হলো: 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44

(ii) -35, _, _, -5, 5, _

এই ধারায় পদগুলোর সাধারণ অন্তর একই তাই এটি সমান্তর ধারা। সমান্তর ধারার সূত্র ব্যবহার করে এর সমাধান করা যাবে। 

সমান্তর ধারায় n তম পদ বের করার সূত্র, a_n= a₁ + (n − 1)d 

এখানে,

a হলো ধারাটির প্রথম পদ,

n হলো পদসংখ্যা,

d হলো সাধারণ অন্তর

আমরা জানি,

a₁ = −35

a₄ = −5

a₅ = 5

সাধারণ অন্তর d নির্ণয় করি:

  a₄ = a₁ + (4 - 1)d

 

or, -5 = −35 + 3d

or, 3d = −5 + 35 = 30

or, 3d = 30

or, d =  30   3

∴ d = 10

এখন ফাঁকা ঘরগুলোর মান বের করি- 

a₂ = a₁ + d = −35 + 10 = −25

a₃ = a₁ + 2d = −35 + 2 × 10 = −15

a₆ = a₅ + d = 5 + 10 = 15

সুতরাং, সম্পূর্ণ ধারাটি হলো:

−35, −25, −15, −5, 5, 15

(iii) _, _, _, 5, -4, _

এই ধারায় পদগুলোর সাধারণ অন্তর একই তাই এটি সমান্তর ধারা। সমান্তর ধারার সূত্র ব্যবহার করে এর সমাধান করা যাবে। 

সমান্তর ধারায় n তম পদ বের করার সূত্র, 

a_n= a₁ + (n − 1)d, 

এখানে,

a হলো ধারাটির প্রথম পদ,

n হলো পদসংখ্যা,

d হলো সাধারণ অন্তর

আমরা জানি,

a₄ = 5

a₅ = −4

সাধারণ অন্তর d নির্ণয় করি:

 d = a₅ -  a₄ 

    = 5 - (-4) 

    = 5 + 4 

    = 9

সুতরাং, d = 9

এখন ফাঁকা ঘরগুলোর মান বের করি-

a₂ = a₄ − 2d = 5 – 2 (−9) = 5 + 18 = 23

a₃ = a₄ − d = 5 − (−9) = 5 + 9 = 14

a₆ = a₅ + d = −4 – 9 = −13

a₁ = a₂ − d = 23 − 9 = 14

সুতরাং, সম্পূর্ণ ধারাটি হলো: 14, 23, 14, 5, −4, −13

(iv) _, 10x², 50x³, _, _

এই ধারায় ধারাবাহিক পদগুলির মধ্যে সাধারণ অনুপাত অভিন্ন, তাই এটি গুণোত্তর ধারা। 

গুণোত্তর ধারায়, nতম পদের মান বের করার সূত্র,

 a_n= ar^(n-1) 

এখানে,

a হলো ধারাটির প্রথম পদ,

r হলো ধারাটির পদক্রমের সাধারণ অনুপাত,

n হলো পদসংখ্যা

আমরা জানি,

a₂ = 10x³

a₃ = 50x³

সাধারণ অনুপাত r নির্ণয়ের সূত্র:

r =  a₂a₃  =  10x²50x³  = 15x

এখন, ধারাটির প্রথম পদ a নির্ণয় করতে হবে:

a =  a₂ r  = 10x² 5x = 2x

এখন, ধারাটির বিভিন্ন পদগুলোর মান নির্ণয় করি:

a₁= ar^(1-1) = ar⁰ = a = 2x

a₄= ar^(4-1) = ar³ = 2x × (5x) ³ = 250x⁴ 

a₅= ar^(5-1) = ar³ = 2x × (5x) ⁴ = 1250x⁵

সুতরাং, সম্পূর্ণ ধারাটি হলো: 2x, 10x², 50x³, 250x⁴, 1250x⁵

প্রশ্ন-২.৩. ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।

Solution:

ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করা হলো-

বিস্তারিত ক্যালকুলেশন নিচে দেয়া হলো-

i.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 5
পদসংখ্যা, n = 10
10 তম পদ, a_n = ?
10 টি সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
বা, a_n = 2 + (10 - 1)5 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, a_n = 2 + 9 ✕ 5
বা, a_n = 2 + 45
∴ a_n = 47

আবার, সূত্রমতে,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 12 ✕ 10{2 ✕ 2 + (10 - 1)5} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = 5(4 + 9 ✕ 5)

বা, S_n = 5 ✕ 49

∴ S_n = 245

সুতরাং, 10 তম পদ, a_n = 47 এবং 10 টি সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = 245 (Answer)



ii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = -37
সাধারণ অন্তর, d = 4
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = ?
n - সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = -180

সূত্রমতে, আমরা জানি,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, 2S_n = n{2a + (n - 1)d}

বা, 2 ✕ (-180) = n{2. - 37 + (n - 1)4} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, -360 = n(-74 + 4n - 4)

বা, -360 = -74n + 4n² - 4n

বা, -360 = 4n² - 78n

বা, -180 ✕ 2 = 2(2n² - 39n)

বা, -180 = 2n² - 39n

বা, -180 = 2n² - 39n

বা, 2n² - 39n + 180 = 0

দ্বিঘাত সমীকরণের সূএানুসারে,

x = -b ± √ (b²-4ac)         2a

এখানে, 𝑎 = 2, 𝑏 = −39, এবং 𝑐 = 180
𝑛 = −(−39) ± √ (−39)²−4⋅2⋅180                 2 ✕ 2 [মান বসিয়ে পাই]

বা, 𝑛 = 39 ± √ 1521−1440             4

বা, 𝑛 = 39 ± √ 81      4

বা, 𝑛 =  39±9     4

এখানে n এর দুটি মান পাওয়া যায়:
1. 𝑛₁ = 39 + 94 = 484 = 12
2. 𝑛₂ = 39−94 = 304 = 7.5 [n এর মান পূর্ণসংখ্যা হবে]
অতএব, 𝑛 = 12

আবার, সূত্রমতে,

a_n = a + (n - 1)d

বা, a_n = -37 + (12 - 1)4 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, a_n = -37 + 11 ✕ 4

বা, a_n = -37 + 44

∴ a_n = 7

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 12 এবং nতম পদ, a_n = 7 (Answer)



iii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 29
সাধারণ অন্তর, d = -4
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = -23
n - সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
বা, -23 = 29 + (n - 1) ✕ (-4) [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, -23 = 29 - 4n + 4
বা, -23 = 33 - 4n
বা, 4n = 33 + 23
বা, 4n = 56
বা, n = 56 4
∴ n = 14

আবার, সূত্রমতে,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 12.14{2 ✕ 29 + (14 - 1)(-4)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = 7{58 + 13(-4)}

বা, S_n = 7(58 - 52)

বা, S_n = 7 ✕ 6

∴ S_n = 42

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 14 এবং সমষ্টি, S_n = 42 (Answer)



iv.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ?
সাধারণ অন্তর, d = -2
পদসংখ্যা, n = 13
13 তম পদ, a_n = 10
13 টি সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
বা, 10 = a + (13 - 1)(-2) [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, 10 = a + 12(-2)
বা, 10 = a – 24
বা, a = 10 + 24
বা, a = 34

আবার, সূত্রমতে,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 12 ✕ 13{2 ✕ 34 + (13 - 1)(-2)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = 12 ✕ 13{68 + 12(-2)}

বা, S_n = 12 ✕ 13(68 – 24)

বা, S_n = 12 ✕ 13 ✕ 44

বা, S_n = 13 ✕ 22

∴ S_n = 286

সুতরাং, ১ম পদ, a = 34 এবং সমষ্টি, S_n = 286 (Answer)



v.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 34
সাধারণ অন্তর, d = 12
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = 31 4
n - সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d

বা, 31 4 = 34 + (n - 1)12 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 31 4 =  3  4 + (n - 1)    2

বা,  31   4 = 3 + (n - 1)    4

বা, 31 = 3 + 2(n - 1) [উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই]

বা, 31 = 3 + 2n – 2

বা, 31 = 2n + 1

বা, 2n = 31 - 1

বা, 2n = 30

∴ n = 15

আবার, সূত্রমতে,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 12.15{2 ✕ 34 + (15 - 1) ✕ 12} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = 15 2 ✕ (32 + 14 ✕ 12)

বা, S_n = 15 2 ✕ 3 + 14    2

বা, S_n = 152 ✕ 17 2

∴ S_n = 255  4

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 15 এবং সমষ্টি, S_n = 255  4

vi.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = ?
n - সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = -144

সূত্রমতে, আমরা জানি,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, 2S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, -144 = 12 .n{2 ✕ 9 + (n - 1)(-2)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 2 ✕ (-144) = n(18 - 2n + 2)

বা, 2 ✕ (-144) = n(20 - 2n)

বা, 2 ✕ (-144) = 20n - 2n²

বা, 2 ✕ (-144) = 2(10n - n²)

বা, 2 ✕ (-144) = 2(10n - n²)

বা, -144 = 10n - n²

বা, n² - 10n - 144 = 0

বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0

বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0

বা, (n - 18)(n + 8) = 0

এখানে, n = 18 অথবা, n = -8 [n এর ঋণাত্বক মান অগ্রহনযোগ্য]
∴ n = 18

 
আবার, সূত্রমতে,
a_n = a + (n - 1)d
বা, a_n = 9 + (18 - 1)(-2) [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, a_n = 9 + 17 ✕ (-2)
বা, a_n = 9 - 34
∴ a_n = -25

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 18 এবং সমষ্টি, S_n = -25 (Answer)

 
vii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = ?
পদসংখ্যা, n = 13
13 তম পদ, a_n = 35
13 টি সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d

বা, 35 = 7 + (13 - 1)d [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 35 = 7 + 12d

বা, 35 - 7 = 12d

বা, 12d = 28

বা, d =  17   2

∴ d =  7  3

আবার, সূত্রমতে,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 12 ✕ 13{2 ✕ 7 + (35 - 1) ✕ 73} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = 12 ✕ 13(14 + 34 ✕ 73)

বা, S_n = 12 ✕ 13(14 + 238  3)

বা, S_n = 12 ✕ 13 ✕ (3 ✕ 14 + 238)         3

বা, S_n = 12 ✕ 13 ✕ 42 + 238      3

বা, S_n = 12 ✕ 13 ✕ 280  3

বা, S_n = 13 ✕ 140  3

∴ S_n = 1820   3

সুতরাং, সাধারণ অন্তর, d =  7  3 এবং সমষ্টি, S_n = 1820   3

 
viii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ?
সাধারণ অন্তর, d = 7
পদসংখ্যা, n = 25
25 তম পদ, a_n = ?
25 টি সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = 2000

সূত্রমতে, আমরা জানি,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}

বা, 2000 = 12 ✕25{2a + (25 - 1)7} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 2 ✕ 2000 = 25(2a + 24 ✕ 7)

বা, 4000 = 25(2a + 168)

বা, 4000  25 = (2a + 168)

বা, 160 = 2a + 168

বা, 2a = 160 - 168

বা, 2a = -8

বা, a = -  8  2

∴ a = -4

আবার, সূত্রমতে,
a_n = a + (n - 1)d
বা, a_n = -4 + (25 - 1)7 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, a_n = -4 + 24 ✕ 7
বা, a_n = -4 + 168
∴ a_n = 164

সুতরাং, ১ম পদ, a = -4 এবং 25তম পদ, a_n = 164 (Answer)

 
ix.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ?
সাধারণ অন্তর, d = - 34
পদসংখ্যা, n = 15
15 তম পদ, a_n = ?
15 টি সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = 165  4

সূত্রমতে, আমরা জানি,
S_n = 12 n{2a + (n - 1)d}

বা, 165  4 = 12 ✕ 15{2a + (15 - 1)(- 34)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 2 ✕ 165  4 = 15{2a + 14 ✕ (- 34)}

বা, 165  2 = 15 ✕ 2a – 21    2

বা, 165  2 = 15 ✕ (2 ✕ 2a – 21)       2

বা, 165  2 = 15 ✕ 4a – 21    2

বা, 165 = 60a – 315

বা, 60a – 315 = 165

বা, 60a = 165 + 315

বা, 60a = 480

বা, a = 480 60

∴ a = 8

আবার, সূত্রমতে,
a_n = a + (n - 1)d

বা, a_n = 8 + (15 - 1)(-  3  4) [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, a_n = 8 + 14 ✕ (-3)  4

বা, a_n = 8 + 7 ✕ (-3)  2

বা, a_n = 8 – 21 2

বা, a_n = 2 ✕ 8 - 21       2

বা, a_n = 16 - 21     2

∴ a_n = -  5  2

সুতরাং, ১ম পদ, a = 8 এবং 15 তম পদ, a_n = -  5  2 (Answer)

 
x.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 2
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = ?
n - সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = 2550

সূত্রমতে, আমরা জানি,
S_n = 12.n{2a + (n - 1)d}
বা, S_n = 12n{2a + (n - 1)d}
বা, 2550 = 12n{2.2 + (n - 1)2} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, 2 ✕ 2550 = n(4 + 2n - 2)
বা, 5100 = 4n + 2n² - 2n
বা, 5100 = 2n² + 2n
বা, 2 ✕ 2550 = 2(n² + n)
বা, 2550 = n² + n
বা, n² + n = 2550
বা, n² + n - 2550 = 0
বা, n² + 51n - 50n + 2550 = 0
বা, n(n + 51) - 50(n + 51) = 0
বা, (n + 51)(n - 50) = 0
এখানে, n = 50 অথবা, n = -51 [n এর ঋণাত্বক মান অগ্রহনযোগ্য]
∴ n = 50

আবার, সূত্রমতে,
a_n = a + (n - 1)d
বা, a_n = 2 + (50 - 1)2 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, a_n = 2 + 49 ✕ 2
বা, a_n = 2 + 98
∴ a_n = 100

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 50 এবং 50 তম পদ, a_n = 100 (Answer)

প্রশ্ন-২.৪. তোমার পড়ার ঘরের মেঝেতে তুমি সমবাহু ত্রিভূজাকৃতির একটি মোজাইক করতে চাও, যার বাহুর দৈর্ঘ্য 12 ফুট। মোজাইকে সাদা ও নীল রঙের টাইলস থাকবে। প্রতিটি টাইলস 12 ইঞ্চি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সুষম ত্রিভুজাকৃতি। টাইলসগুলো বিপরীত রঙে বসিয়ে মোজাইকটি সম্পূর্ণ করতে হবে। 

ক) ত্রিভূজাকৃতির মোজাইকটির একটি মডেল তৈরী করো।

খ) প্ৰত্যেক রঙের কয়টি করে টাইলস লাগবে? 

গ) মোট কতগুলো টাইলস প্রয়োজন হবে?

Solution:

ক) ত্রিভূজাকৃতির মোজাইকটির একটি মডেল তৈরী করা হলো-

খ) সাদা ও নীল রঙের টাইলসের সংখ্যা নির্ণয়-

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভূজাকৃতির মোজাইকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ফুট
মোজাইকে সাদা ও নীল রঙের সুষম ত্রিভুজাকৃতি প্রতিটি টাইলসের দৈর্ঘ্য = 12 ইঞ্চি = 1 ফুট

সাদা ও নীল টাইলসগুলো বিপরীত রঙে বসিয়ে মোজাইকটি সম্পূর্ণ করতে হবে, যেহেতু প্রতিটি টাইলসের দৈর্ঘ্য 1 ফুট এভাবে সাজালে 12 1 = 12 টি সারি হবে।

এখানে,
১ম সারিতে নীল টাইলসের সংখ্যা, a_B1 = 1 টি
২য় সারিতে নীল টাইলসের সংখ্যা, a_B2 = 2 টি
৩য় সারিতে নীল টাইলসের সংখ্যা, a_B3 = 3 টি
সুতরাং, নীল টাইলসের ধারাটির সাধারণ অন্তর, d_B = a_B2 - a_B1 = 2 - 1 = 1
নীল টাইলসের সারি সংখ্যা, n_B = 12

সূত্রমতে, মোট নীল টাইলসের সংখ্যা, 

S_B = 12(n{2a + (n - 1)d}

or, S_B = 12 ✕ 12{2 ✕ 1 + (12 - 1)1} [মান বসিয়ে পাই]

or, S_B = 6(2 + 11)

or, S_B = 6 ✕ 13

∴ S_B = 78

সুতরাং, মোট নীল টাইলসের সংখ্যা 78 টি


আবার,
১ম সারিতে সাদা টাইলসের সংখ্যা, a_W1 = 1 টি
২য় সারিতে সাদা টাইলসের সংখ্যা, a_W2 = 2 টি
৩য় সারিতে সাদা টাইলসের সংখ্যা, a_W3 = 3 টি
সুতরাং, সাদা টাইলসের ধারাটির সাধারণ অন্তর, d_W = a_W2 - a_W1 = 2 - 1 = 1
সাদা টাইলসের সারি সংখ্যা, n_W = 12 - 1 = 11 [12 ফুট মোজাইকের ১ম সারিতে শুধু একটি নীল টাইলস কোনো সাদা টাইলস নেই]

সূত্রমতে, মোট সাদা টাইলসের সংখ্যা, 

S_W = 12(n{2a + (n - 1)d}

or, S_W = 12 ✕ 11{2 ✕ 1 + (11 - 1)1} [মান বসিয়ে পাই]

or, S_W = 12 ✕ 11(2 + 10)

or, S_W = 12 ✕ 11 ✕ 12

or, S_W = 11 ✕ 6

∴ S_W = 66

সুতরাং, মোট সাদা টাইলসের সংখ্যা 66 টি

Answer- মোট নীল টাইলসের সংখ্যা 78 টি, মোট সাদা টাইলসের সংখ্যা 66 টি।



গ) মোট টাইলসের সংখ্যা নির্ণয়-

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভূজাকৃতির মোজাইকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 12 ফুট প্রতিটি টাইলসের দৈর্ঘ্য 1 ফুট হলে সারি সংখ্যা, n = 12 1 = 12
১ম সারিতে টাইলসের সংখ্যা, a₁ = 1 টি
২য় সারিতে টাইলসের সংখ্যা, a₂ = 3 টি
৩য় সারিতে টাইলসের সংখ্যা a₃ = 5 টি
সুতরাং, টাইলসের ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = a₂ - a₁ = 3 - 1 = 2

সূত্রমতে, মোট টাইলসের সংখ্যা, 

S_n = 12(n{2a + (n - 1)d}

or, S₁₂ = 12 ✕ 12{2 ✕ 1 + (12 - 1)2} [মান বসিয়ে পাই]

or, S₁₂ = 6(2 + 11 ✕ 2)

or, S₁₂ = 6(2 + 22)

or, S₁₂ = 6 ✕ 24

∴ S₁₂ = 144

সুতরাং, মোট টাইলসের সংখ্যা 144 টি (Answer)

প্রশ্ন-২.৫. ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো। 

Solution:

ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করা হলো-

বিস্তারিত ক্যালকুলেশন নিচে দেয়া হলো-

i.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 12
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = 12
nতম পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = ar^n-1
বা,  1  2 = 128 ✕ ( 1  2)^n-1 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা,       1 2✕128  = ( 1  2)^n-1
বা,    1 256  = ( 1  2)^n-1
বা, ( 1  2)^n-1 =    1 256 
বা, ( 1  2)^n-1 = ( 1  2)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

আবার, সূত্রমতে,
S_n = a(1 - rⁿ)  (1 - r)

বা, S_n =  128{1 - ( 1  2)⁹}       (1 - 12 )   [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n =   128(1 -   1512)       (2 - 1)    2

বা, S_n =   128( 512 - 1    512)           1  2 

বা, S_n = 128 ✕   511   512 ✕  2  1

বা, S_n = 128 ✕ 511512 ✕ 2

∴ S_n = 511  2

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 9 এবং 9তম পদের সমষ্টি, S_n = 511  2   (উওর)


ii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ?
সাধারণ অনুপাত, r = -3
পদসংখ্যা, n = 8
8 তম পদ, a_n = -2187
8 তম পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,

a_n = ar^n-1
বা, -2187 = a(-3)^8-1 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, -2187 = a(-3)⁷
বা, -2187 = -2187a
∴ a = 1

আবার, সূত্রমতে,
S_n =  a(1 - rⁿ)   (1 - r)

বা, S_n =  1{1 - (-3)⁸}   {1 - (-3)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = (1 - 6561)  (1 + 3)

বা, S_n = -6560   4

∴ S_n = -1640

সুতরাং, ১ম পদ, a = 1 এবং সমষ্টি, S_n = -1640 (উওর)


iii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a =   1√ 2 
সাধারণ অনুপাত, r = -√ 2
পদসংখ্যা, n = ?
nতম পদ, a_n = 8√ 2
nতম পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,

a_n = ar^n-1

বা, 8√ 2 = (  1√ 2 )(-√ 2)^n-1 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 8√ 2 ✕ √ 2 = (-√ 2)^n-1

বা, 8 ✕ (√ 2)² = (-√ 2)^n-1

বা, 8 ✕ 2 = (√ 2)^n-1

বা, 16 = (√ 2)^n-1

বা, (√ 2)⁸ = (√ 2)^n-1 [যেহেতু, 16 = (√ 2)⁸]

বা, 8 = n - 1

বা, n = 8 + 1

∴ n = 9

আবার, সূত্রমতে,
S_n = a(1 - rⁿ)  (1 - r)

বা, S_n = {a(1 - rⁿ)} ÷ (1 - r)

বা, S_n = (  1√ 2 ){1 - (√ 2)⁹} ÷ {1 - (√ 2)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n = (  1√ 2 ){1⁹ - (√ 2)⁹} ÷ {1 - (√ 2)}

বা, S_n = (  1√ 2 ) ✕ {(1³)³ - (-√ 2³)³} ÷ {1 - (√ 2)}

বা, S_n = (  1√ 2 ) ✕ (1³ - √ 2³){(1³)² + 1.(-√ 2)³ + (-√ 2³)² ÷ {1 - (√ 2)}   [সূত্রমতে, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) ব্যবহার করে]

বা, S_n = (  1√ 2 ) ✕ (1³ - √ 2³)[1 + 1.(-√ 2)³ + {(-√ 2)²}³] ÷ {1 - (√ 2)}

বা, S_n = (  1√ 2 ) ✕ {(1³ - √ 2³){1 + (-√ 2)³ + 2³} ÷ {1 - (√ 2)}

বা, S_n = (  1√ 2 )(1³ - √ 2)³{1 + (-√ 2) ✕ (√ 2)² + 8} ÷ {1 - (√ 2)} [যেহেতু, (√ 2)³ = (√ 2) ✕ (√ 2)²]

বা, S_n = (  1√ 2 ){(1³ - √ 2)³)(-√ 2 ✕ 2 + 9)} ÷ {1 - (√ 2)}

বা, S_n = (  1√ 2 ){(1³ - √ 2³).(-2√ 2 + 9)} ÷ {1 - (√ 2)}

বা, S_n = (  1√ 2 ).{(1 - √ 2){1² + 1.(-√ 2) + √ 2²}(-2√ 2 + 9)}] ÷ {1 - (√ 2)} [সূত্রমতে, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) ব্যবহার করে]

বা, S_n = (  1√ 2 ) .(1 - (√ 2).(1 - √ 2 + 2).(-2√ 2 + 9) ✕       1 (1 - √ 2)

বা, S_n = (   1√ 2 )(-√ 2 + 3)(-2√ 2 + 9)}

বা, S_n = (   1√ 2 ).(√ 2 ✕ 2√ 2 - √ 2 ✕ 9 - 3 ✕ 2√ 2 + 3 ✕ 9)

বা, S_n = (  1√ 2 ){2(√ 2)² - 9√ 2 - 6√ 2 + 27}

বা, S_n = (  1√ 2 )(2 ✕ 2 - 15√ 2 + 27)

বা, S_n = (  1√ 2 )(4 - 15√ 2 + 27)

বা, S_n = (  1√ 2 )(31 - 15√ 2)

বা, S_n = (  1√ 2 )(31 - 15√ 2)

বা, S_n = (  1√ 2 )(31 - 15√ 2)

বা, S_n = ( 31√ 2 - 15 ✕ √ 2 √ 2 )

∴ S_n = ( 31√ 2 - 15)

সুতরাং, পদসংখ্যা, n = 9 এবং 9তম পদের সমষ্টি, S_n = ( 31 √ 2 - 15) (উওর)


iv.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ?
সাধারণ অনুপাত, r = -2
পদসংখ্যা, n = 7
7 তম পদ, a_n = 128
7 তম পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,
a_n = ar^n-1
বা, 128 = a(-2)^7-1 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, 128 = a(-2)⁶
বা, 128 = 64a
বা, 64a = 128
∴ a = 2

আবার, সূত্রমতে,
S_n =  a(1 - rⁿ)   (1 - r)

বা, S_n =  2{1 - (-2)⁷}  {1 - (-2)} [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, S_n =  2{1 - (-128)}    (1 + 2)

বা, S_n =  2(1 + 128)    (1 + 2)

বা, S_n =  2 ✕ 129      3

বা, S_n =  258    3

∴ S_n = 86

সুতরাং, 7 তম পদ, a = 2 এবং সমষ্টি, S_n = 86 (উওর)

viii.
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ?
সাধারণ অনুপাত, r = 4
পদসংখ্যা, n = 6
nতম পদ, a_n = ?
nতম পদের সমষ্টি, S_n = 4095

সূত্রমতে, আমরা জানি,

S_n = a(1 - rⁿ) (1 - r)

বা, 4095 = a(1 - 4⁶)  (1 - 4)  [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]

বা, 4095 = a(1 - 4096)     (-3)

বা, 4095 = a(-4095)    (-3)

বা, 4095 = 1365a

বা, 1365a = 4095

বা, a =  4095  1365

∴ a = 3

আবার, সূত্রমতে,
a_n = ar^n-1
বা, a_n = 3.4^6-1 [প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই]
বা, a_n = 3 ✕ 45
বা, a_n = 3 ✕ 1024
∴ a_n = 3072

সুতরাং, ১ম পদ, a = 3 এবং 4তম পদ, a_n = 3072 (উওর)

প্রশ্ন-২.৬. 

ক) ছক- ১ এর অনুক্রমটি নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করো। অতঃপর ১০ম চিত্রটি গঠন করে কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো। 

খ) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে nতম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো। 

গ) n = 5 হলে, ছক- ২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় করো এবং দেখাও যে, nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 2ⁿ সূত্রকে সমর্থন করে। 

ঘ) প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরী করো এবং ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2046 হলে, n এর মান নির্ণয় করো। 

Solution:

ক) দশম চিত্রতে আমরা কয়েনগুলো এভাবে সাজাতে পারি -

বিভিন্ন সারির মধ্যকার পার্থক্য বের করি –
1. প্রথম এবং দ্বিতীয় সারির মধ্যে পার্থক্য হলো, 3 – 1 = 2
2. দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারির মধ্যে পার্থক্য হলো, 6 – 3 = 3
3. তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির মধ্যে পার্থক্য হলো, 10 – 6 = 4

আমরা দেখতে পারছি সারির সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে কয়েন সংখ্যাও বাড়ছে। প্রতিটি কয়েন সংখ্যা বৃদ্ধির হারের সাধারণ অন্তর, d = 1
প্রথম সারির কয়েন সংখ্যা, a = 1
কয়েনের দশম সারিতে, n = 10

সূত্রমতে, দশম সারিতে কয়েন সংখ্যা,

S = 12(n{2a + (n - 1)d}

or, S = 12 ✕ 10{2 ✕ 1 + (10 - 1)1} [মান বসিয়ে পাই]

or, S = 5 ✕ (2 + 9)

or, S = 5 ✕ 11

∴ S = 55

সুতরাং, ১০ম চিত্রটিতে সংখ্যা 55 টি। (Answer)

Alternative-
বিভিন্ন সারির মধ্যকার পার্থক্য বের করি –
1. প্রথম এবং দ্বিতীয় সারির মধ্যে পার্থক্য হলো, 3 – 1 = 2
2. দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারির মধ্যে পার্থক্য হলো, 6 – 3 = 3
3. তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির মধ্যে পার্থক্য হলো, 10 – 6 = 4
আমরা দেখতে পারছি সারির সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে কয়েন সংখ্যাও বাড়ছে।


তাই, দশম পদটি খুঁজে বের করতে, আমরা চতুর্থ পদ থেকে শুরু করে পরবর্তী পদের সাথে যোগ করে:
4th পদ: 10
5th পদ: 10 + 5 = 15
6th পদ: 15 + 6 = 21
7th পদ: 21 + 7 = 28
8th পদ: 28 + 8 = 36
9th পদ: 36 + 9 = 45
10th পদ: 45 + 10 = 55

অতএব, এই সিরিজের 10ম পদ হচ্ছে 55।

খ) nতম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয়-

ছক – ১ এর চিত্রটি পর্যবেক্ষন করি। প্রতিটি চিত্রে, চিত্র সংখ্যার সমান সংখ্যক কয়েন এর সারি আছে, এক সারি থেকে অপর সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার 1 এবং ১ম সারিতে 1টি মাত্র কয়েন আছে।

এখানে,
nতম চিত্রে, কয়েনের সারির সংখ্যা = n
সারি থেকে সারিতে প্রতিটি কয়েন সংখ্যা বৃদ্ধির হারের সাধারণ অন্তর, d = 1
১ম সারিতে কয়েনের সংখ্যা a = 1

অতএব,
nতম চিত্রে মোট কয়েন এর সংখ্যা

S_n = 12(n{2a + (n - 1)d}

or, S_n = 12.n{2.1 + (n - 1)1}

or, S_n = 12.n{2 + (n - 1)}

or, S_n = 12.n(2 + n – 1)

∴ S_n = n(n + 1)     2        [Answer]



গ) n = 5 হলে, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় করতে হবে এবং দেখতে হবে যে, nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 2ⁿ সূত্রকে সমর্থন করে।

ছক – ২ থেকে পাই, প্রতিটি সারিতে শুরুর ও শেষ সংখ্যা হলো 1 এবং মাঝের সংখ্যাগুলো পূর্বের সারির পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান।

এভাবে, n = 5 এর ক্ষেত্রে পাই, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলোঃ 1, 5, 10, 10, 5, 1

nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টিঃ
১ম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2 = 2¹
২য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 4 = 2²
৩য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 8 = 2³
৪র্থ সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 16 = 2⁴
৫ম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 32 = 2⁵

সুতরাং, nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2ⁿ [দেখানো হলো]



ঘ) ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2046 হলে, n এর মান বের করতে হবে।

একটি ধারা তৈরি করা হলো- প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে,

2 + 4 + 8 + 16 + .....

এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4 ÷ 2 = 2
পদসংখ্যা, n = ?
সমষ্টি, S_n = 2046

সূত্রমতে,

S_n = a(1 - rⁿ)  (1 - r)

বা, 2046 = 2(1 - 2ⁿ) (1 - 2)

বা, 2046 = 2(1 - 2ⁿ)   (-1)

বা, 2046 = -2(1 - 2ⁿ)

বা, -2(1 - 2ⁿ) = 2046

বা, 1 - 2ⁿ = -1023

বা, -2ⁿ = -1023 – 1

বা, -2ⁿ = -1024

বা, 2ⁿ = 1024

বা, 2ⁿ = 2¹⁰ 

বা, n = 10  [সূচকের নিয়ম অনুযায়ী]

∴ n = 10    (Answer)

প্রশ্ন-২.৭. n এর মান নির্ণয় করো, যেখানে n ∈ N 

i. 

 

ii. 

 

iii. 

iv. 

Solution:

মান নির্ণয় করতে হবে n এর, যেখানে, n ∈ N.

i)
 

দেওয়া আছে, k = 1, 2, 3,.... n

অতএব,
(20 – 4 ✕ 1) + (20 – 4 ✕ 2) + (20 – 4 ✕ 3) +....... (20 – 4 ✕ n) = -20

বা, 20n – 4.(1+2+3+....n) = -20

বা, 20n – 4 ✕ . 1  2.n{2.1 + (n - 1)1} = -20 [সূত্র, S_n =  1  2n{2a + (n - 1)d}]

বা, 20n – 2.n(2 + n – 1) = -20

বা, 20n – 2n(n + 1) = -20

বা, 20n – 2n² – 2n = -20

বা, -2n² + 18n = -20

বা, -2n² + 18n + 20 = 0

বা, 2n² - 18n -20 = 0

বা, 2(n² – 9n – 10) = 0

বা, n² – 9n – 10 = 0

বা, n² – 10n + n – 10 = 0

বা, n(n - 10) + 1(n - 10) = 0

বা, (n + 1)(n - 10) = 0

বা, n + 1 = 0 অথবা, n - 10 = 0

বা, n = -1 বা, n = 10

n এর ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়; সুতরাং, n = 10

∴ n = 10 (Answer)

ii)
 

দেওয়া আছে, k = 1, 2, 3, ….. n

অতএব,
(3.1 + 2) + (3.2 + 2) +(3.3 + 2) +………+ (3.n + 2) = 1105

বা, 3(1 + 2 + 3 +....n) + 2n = 1105

বা, 3. 1  2.n{2.1 + (n - 1).1} + 2n = 1105 [S_n =  1  2n{2a + (n - 1)d} সূত্রমতে]

বা, 3.12.n{2 + n - 1} + 2n = 1105

বা, 3.12.n(n + 1) + 2n = 1105

বা, 3.12.(n² + n) + 2n = 1105

বা, 2 ✕ {3 .12.(n² + n) + 2n} = 2 ✕1105 [উভয়পক্ষে 2 দিয়ে গুণ করে]

বা, 3.(n² + n) + 4n = 2210

বা, 3n² + 3n + 4n = 2210

বা, 3n² + 7n – 2210 = 0

বা, 3n² - 78n + 85n – 2210 = 0

বা, 3n(n - 26) + 85(n – 26) = 0

বা, (n - 26)(3n + 85) = 0

বা, n - 26 = 0 অথবা, 3n + 85 = 0

বা, n = 26 বা, 3n = - 85

n এর ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়; সুতরাং, n = 26

∴ n = 26   (Answer)

iii)
 

দেওয়া আছে, k = 1, 2, 3, ….. n

(-8). (0.5)^1-1 + (-8). (0.5)^2-1 + (-8). (0.5)^3-1 +......+ (-8). (0.5)^n-1 = - 255 16

বা, (-8). {(0.5)⁰ + (0.5)¹ + (0.5)² +......+ (0.5)^n-1} = -  255  16

বা, {(0.5)⁰ + (0.5)¹ + (0.5)² +......+ (0.5)^n-1} =      -255    -8 ✕ 16 

বা, (0.5)⁰ + (0.5)¹ + (0.5)² +......+ (0.5)^n-1 =  255  128

বা, (0.5)⁰ ✕  (1 - 0.5ⁿ)   (1 - 0.5) =  255  128    [S_n =  a(1 - rⁿ)   (1 - r) সূত্রমতে]

বা, 1 ✕ (1 - 0.5ⁿ)    0.5 =  255  128

বা, (1 - 0.5ⁿ) ✕ 2       0.5 ✕ 2 = 255128

বা, (1 - 0.5ⁿ) ✕ 2          1 = 255128

বা, (1 - 0.5ⁿ) ✕ 2 =  255  128

বা, 1 - 0.5ⁿ =      255  128 ✕ 2 

বা, 1 - ( 1  2)ⁿ =   255   256 

বা, 1 - ( 1  2)ⁿ =  255  256 - 1

বা, - ( 1  2)ⁿ =  255 - 256      256 

বা, - ( 1  2)ⁿ =   -1   256

বা, ( 1  2)ⁿ =     1     256

বা, ( 1  2)ⁿ = ( 1  2)⁸

বা, n = 8      [সূচক এর নিয়ম অনুযায়ী]

∴ n = 8  (Answer)

iv)




দেওয়া আছে, k = 1, 2, 3, ...... n

অতএব,

(3)^1-1 + (3)^2-1 + (3)^3-1 +......+(3)^n-1 = 3280

বা, (3)⁰ + (3)¹ + (3)² +......+(3)^n-1 = 3280

বা, 1 + 3 + 9 +......+(3)^n-1 = 3280

বা,  1(1 - 3ⁿ)    (1 - 3) = 3280   [S_n =  a(1 - rⁿ)   (1 - r) সূত্রমতে]

বা, (1 - 3ⁿ)  (-2) = 3280

বা, (1 - 3ⁿ) = 3280 ✕ (-2)

বা, 1 - 3ⁿ = -6560

বা, -3ⁿ = -6560 - 1

বা, -3ⁿ = -6561

বা, 3ⁿ = 6561

বা, 3ⁿ = 3⁸

বা, n = 8 [সূচক এর নিয়ম অনুযায়ী]

∴ n = 8  (Answer)

প্রশ্ন-২.৮. একটি সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় ও ১০তম পদ যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, চতুর্থ ও ১৭তম পদের সমান। 

ক) সমান্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d এবং গুণোত্তর সাধারণ অনুপাত r হলে, ধারা দুটির সমন্বয়ে দুটি সমীকরণ গঠন করো। 

খ) সাধারণ অনুপাত r এর মান নির্ণয় করো। 

গ) গুনোত্তর ধারাটির ১০তম পদ 5120 হলে, a ও d এর মান নির্ণয় করো। 

ঘ) সমান্তর ধারাটির ১ম 20 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।

Solution:

একটি সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় ও ১০তম পদ যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, চতুর্থ ও ৭ম পদের সমান।

ক) দুইটি সমীকরণ নির্ণেয় করতে হবে।

দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার ১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d
গুণোত্তর সাধারণ অনুপাত r
এবং সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় ও ১০তম পদ যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, চতুর্থ ও ৭তম পদের সমান।

সূত্রমতে, আমরা জানি,
সমান্তর ধারায় nতম পদ, a_n = a + (n − 1)d
গুণত্তর ধারায় nতম পদ, b_n = a⋅r^n-1

অতএব,
সমান্তর ধারার, ১ম পদ = a
সমান্তর ধারার, ২য় পদ = a + d
সমান্তর ধারার, ১০ম পদ = a + (10 - 1)d = a + 9d

অতএব, গুণোত্তর ধারায়,
গুণোত্তর ধারায়, ১ম পদ = a
গুণোত্তর ধারায়, ৪র্থ পদ = ar^4-1 = ar³
গুণোত্তর ধারায়, ৭তম পদ = ar^7-1 = ar⁶

প্রশ্নমতে অনুসারে,
a = a [সমান্তর ধারার ১ম পদ = গুণোত্তর ধারায় ১ম পদ]
a + d = ar³ [সমান্তর ধারার ২য় পদ = গুণোত্তর ধারায় ৪র্থ পদ]
a + 9d = ar⁶ [সমান্তর ধারার ১০ম পদ = গুণোত্তর ধারায় ৭তম পদ]

∴ নির্ণেয় দুইটি সমীকরণঃ a + d = ar³ এবং a + 9d = ar⁶
(Answer)

খ) সাধারণ অনুপাত r এর মান নির্ণয় করতে হবে।

উপরোক্ত (ক) হতে প্রাপ্ত সমীকরণ থেকে পাই,
a = a
a + d = ar³
a + 9d = ar⁶

সমীকরণ (i) হতে,
a + d = ar³
বা, a + d - ar³ = 0
বা, a - ar³ = -d
বা, a(1 - r³) = -d
বা, a = -     d 1 - r³.....(iii)

সমীকরণ (ii) হতে,
a + 9d = ar⁶
বা, a - ar⁶ = -9d
বা, a(1 - r⁶) = -9d
বা, a = -    9d 1 - r⁶.......(iv)

(iii) ও (iv) নং সমীকরণ হতে-
-     d 1 - r³ = -    9d 1 - r⁶

বা,     1 1 - r³ =     9 1 - r⁶

বা,    11 - r⁶ = 9(1 - r³)

বা, 1 - r⁶ = 9 - 9r³

বা, 1 - r⁶ - 9 + 9r³ = 0

বা, - r⁶ + 9r³ - 8 = 0

বা, - r⁶ + r³ + 8r³ - 8 = 0

বা, - r³(r³ -1) + 8(r³ – 8) = 0

বা, (r³ -1)( -r³ + 8) = 0

এখানে,
  (r³ -1) = 0
বা, r³ = 1
বা, r = ∛ 1 
বা, r = 1 [1 গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত হবে না]

অথবা,
  (-r³ + 8) = 1
বা, -r³ = -8
বা, r³ = 8
বা, r³ = 8
বা, r = ∛ 8 
∴ r = 2     (Answer)





গ) গুণোত্তর ধারাটির ১০তম পদ 5120 হলে, a ও d এর মান নির্ণয় করতে হবে।

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 2 [(খ) হতে পাই]
গুণোত্তর ধারার ১০ম পদ = 5120
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a =?
সাধারণ অন্তর, d= ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,

     ar^10-1 = 5120

বা, a ✕ (2)⁹ = 5120

বা, a ✕ 512 = 5120

বা, a =  5120   512

∴ a = 10

আবার,
a + d = ar³      [উপরোক্ত (ক) হতে প্রাপ্ত সমীকরণ থেকে পাই]

বা, 10 + d = 10 ✕ 23

বা, 10 + d = 10 ✕ 8

বা, d = 80 – 10

∴ d = 70

সুতরাং, a = 10 ,  d = 70  (Answer)



ঘ) সমান্তর ধারাটির ১ম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে।

দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = 10
সাধারণ অন্তর, d = 70
পদসংখ্যা, n = 20

সূত্রমতে, আমরা জানি,
S_n =  1  2n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 20 2{2 ✕ 10 + (20 - 1)70}

বা, S_n = 10(2 ✕ 10 + 19 ✕ 70)

বা, S_n = 10(20 + 1330)

বা, S_n = 13500

∴ S_n = 10 ✕ 1350 (Answer)

প্রশ্ন-২.৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজে আঁকো। এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। ওই ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ অঙ্কন করলে এবং সর্ববহিস্ত ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি হলে, সবগুলো ত্রিভুজের পরিসীমার সমষ্টি কত হবে নির্ণয় করো। 

Solution:

সবগুলো ত্রিভুজের পরিসীমার সমষ্টি কত হবে তা নির্ণয় করতে হবে।

দেওয়া আছে,
সর্ববহিস্থ সমবাহু ত্রিভুজ ABC যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = CA = 64 মিমি
ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 ✕ 64 মিমি   [সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 ✕ বাহুর দৈর্ঘ্য]
সুতরাং, প্রথম সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 192 মিমি

এখানে, ABC এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ DEF। এই দ্বিতীয় সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্বের ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যর অর্ধেক। 

দ্বিতীয় সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ✕ 64 মিমি = 32 মিমি
সুতরাং, দ্বিতীয় সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 ✕ 32 মিমি = 96 মিমি

একইভাবে, তৃতীয় সমবাহু ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য দ্বিতীয় ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যর অর্ধেক। 

তৃতীয় সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ✕ 32 মিমি = 16 মিমি
সুতরাং, তৃতীয় সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 ✕ 16 মিমি = 48 মিমি

এখন, এইভাবে পর্যায়ক্রমে আঁকা ত্রিভুজগুলোর পরিসীমাগুলোকে একটি ধারা আকারে লেখা যায়

192 + 96 + 48 +......

এই গুণোত্তর ধারাটিতে,
১ম পদ, a = 192
সাধারন অনুপাত, r =  96192 =  1  2
পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ অঙ্কন করলে, পদসংখ্যা n = 10
nতম পদের সমষ্টি, S_n = ?

সূত্রমতে, আমরা জানি,

 
S_n =  a(1 - rⁿ)  (1 - r)

বা, S_n =  192{1 - ( 1  2)ⁿ}    (1-  1  2)

বা, S_n =  192{1 - ( 1  2)¹⁰}     (2 - 1   2)

বা, S_n = 192(1 -    11024)        1  2

বা, S_n = 192(1 -    11024) ✕ 2

বা, S_n = 384(1 -    11024)

     

বা, S_n = 384 ✕  1024 – 1    1024

বা, S_n = 384 ✕  1023  1024

বা, S_n = 3 ✕  1023     8 [128 দিয়ে ভাগ করে]

বা, S_n =  3069     8

∴ S_n = 383.625 মিমি (Ans.)

প্রশ্ন-২.১০. শাহানা তার শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে একটি ছাড়া গাছ রোপন করলে। এক বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা 1.5 ফুট হলো। পরবর্তী বছর এর উচ্চতা 0.75 ফুট বৃদ্ধি পেল। প্রতি বছর গাছটির উচ্চতা পূর্বের বছরের বৃদ্বিপ্রাপ্ত উচ্চতার 50% বাড়ে। এভাবে বাড়তে থাকলে 20 বছর পরে গাছটির উচ্চতা কত ফুট হবে? 

Solution:

20 বছর পরে গাছটির উচ্চতা কত ফুট হবে তা নির্ণয় করতে হবে-

দেওয়া আছে,
১ম বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা = 1.5 ফুট
২য় বছর পর গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 ফুট
৩য় বছর পর গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 এর 50% ফুট = 0.375 ফুট
৪র্থ বছর পর গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.375 এর 50% ফুট = 0.1875 ফুট

এখানে, গুণোত্তর ধারা অনুযায়ী উচ্চতা বৃদ্ধি পায়। গুণোত্তর ধারাটি হলো-

0.75, 0.375, 0.1875 …..

অতএব,
গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি, a = 0.75
গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধির অনুপাত, r =  0.375   0.75 =   0.1875   0.375 =  1  2
20 বছর পরের উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে, n = 19 [২য় বছর থেকে উচ্চতা বৃদ্ধির নির্ণয় শুরু হয়েছে]

তাহলে, nতম বছরে গাছের মোট বৃদ্ধির পরিমাণ, 

 S_n =  a(1 - rⁿ)  (1 - r)

বা, S_n =  0.75{1 - ( 1  2)¹⁹}      (1 -  1  2)

বা, S_n = 0.75{1 - ( 1  2)¹⁹}           12

বা, S_n = 0.75{1 - ( 1  2)¹⁹} ✕ 2

বা, S_n = 1.5{1 - ( 1  2)¹⁹}

বা, S_n = 1.5(1 -     1524288)

বা, S_n = 1.5 ✕  524288 - 1    524288

বা, S_n = 1.5 ✕ 0.9999

∴ S_n = 1.4999 ফুট

অতএব, ২০ বছর পরের গাছটির উচ্চতা-

= ১ম বছরে গাছের উচ্চতা + ১৯ বছরের গাছটির উচ্চতার বৃদ্ধি

= 1.5 + 1.4999 ফুট

= 2.9999 ফুট

∴ ২০ বছর পরের গাছটির উচ্চতা 2.9999 ফুট। (Answer)

প্রশ্ন-২.১১. তুমি তোমার পরিবারের গত ছয় মাসের খরচের হিসাব জেনে নাও। প্রতি মাসের খরচকে একেকটি পদ বেবচনা করে সম্ভব হলে একটি ধারায় রূপান্তর করো। তারপর নিচের সমস্যাগুলো সমাধানের চেষ্টা করো। 

ক) ধারা তৈরি করা সম্ভব হয়েছে কী? হলে, কোন ধরণের ধারা পেয়েছ ব্যাখ্যা করো।

খ) ধারার সমষ্টিকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করো। 

গ) পরবর্তী ছয় মাসে সম্ভাব্য মোট কত খরচ হতে পারে তা নির্ণয় করো।

ঘ) পরিবারের মাসিক/বার্ষিক খরচ সম্পর্কে তোমার উপলব্ধিবোধ লিপিবদ্ধ করো।

Solution:

১১
ক) প্রতি মাসের খরচকে একেকটি পদ বিবেচনা করে সম্ভব হলে গত ছয় মাসের খরচ একটি ধারায় রূপান্তর করতে হবে-

আমার পরিবারের খরচ (গত ছয় মাসের) নিন্মরুপ-

অতএব, দেখা যাচ্ছে এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ ১ম মাসের খরচ, a = 8500
প্রতি মাসের খরচের সাধারণ অন্তর, d = 8800 – 8500 = 300
ছয় মাস অতএব, n = 6

খ) ধারার সমষ্টিকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে-

উপরোক্ত প্রতি মাসের খরচের তথ্য হতে যে ধারাটি পাই-

8500, 8800, 9100,....

ধারাটির সমষ্টি-

8500 + 8800 + 9100,....

= 8500 + (8500+300) + (8500+300+300) +.....

= a + (a+d) + (a+d+d) + ...... [যেহেতু, ১ম পদ, a = 8500, সাধারন অন্তর, d = 300]

= a + (a+d) + (a+2d) +..... (a+nd)  [পদসংখ্যা n হলে]

= an + d{(1+2+3+.....(n-1)}

= an + d ✕   n(n-1)      2     [সূত্রমতে, 1+2+3+......(n-1)=   n((n-1)       2]

= 2an  2 + d. n(n - 1)     2

=  n  2.2a +  n  2.d(n - 1)

=  1  2n{2a+(n-1)d}

= ধারার সমষ্টি S_n

সুতরাং, প্রাপ্ত সমীকরণ, S_n =  1  2n{2a + (n - 1)d}

 

গ) পরবর্তী ছয় মাসে সম্ভাব্য মোট কত খরচ হতে পারে তা নির্ণয় করতে হবে।

উপরোক্ত প্রতি মাসের খরচের তথ্য হতে,
পরবর্তি ১ম মাসের অর্থাৎ পূর্বের সপ্তম মাসের খরচ, a = 10000 + 300 = 10300

অতএব, পরবর্তী ছয় মাসের মোট খরচ-
S_n = 12n{2a + (n - 1)d}

বা, S_n = 12.6{2.10300 + (6 - 1)300}

বা, S_n = 3(20600 + 5 ✕ 300)

বা, S_n = 3(20600 + 1500)

বা, S_n = 3 ✕ 22100

∴ S_n = 66300 টাকা। (Answer)

ঘ) পরিবারের মাসিক/বার্ষিক খরচ সম্পর্কে তোমার উপলব্ধিবোধ লিপিবদ্ধ করতে হবে।

পারিবারিক মাসিক খরচ সম্পর্কে উপলব্ধি হলো বর্তমান বাজারের বিষয়ে নিত্যপ্রয়োজনীয় জিনিসের দাম বাড়ার সাথে সাথে খরচের পরিমানও বৃদ্ধি পাচ্ছে।