প্রাত্যহিক জীবনে সেট (শ্রেণী - ৯, অভিজ্ঞতা - ১)

• Topics
• MCQ Test
• Exercise Solution

প্রশ্ন-১.১. তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো: 

ক) A = {x ∈ N: –3 < x ≤ 5} 

খ) B = {x ∈ Z: x মৌলিক সংখ্যা এবং x² ≤ 50} 

গ) C = {x ∈ Z: x⁴ < 264}

Solution:

তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ:

ক) A = {x ∈ N: −3 ＜ x ≤ 5} 

[এখানে, N = {1, 2, 3, 4…………} ["প্রাকৃতিক সংখ্যা" হলো সংখ্যাগুলির একটি সেট যা শূন্যের চেয়ে বড় 1 থেকে শুরু করে এবং শূন্যের চেয়ে বড় সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। প্রায়শই N চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ১, ২, ৩, ৪, ৫, … ইত্যাদি।] 

সুতরাং, সেটের উপাদানগুলো হলো, A = {1, 2, 3, 4, 5} 

খ) B = {x ∈ Z: x মৌলিক সংখ্যা এবং x² ≤ 50} 

[মৌলিক সংখ্যা হলো এমন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যা ১ এবং তার নিজস্ব মাত্র দুটি উৎপাদক থাকে, অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যা কোনো অন্য সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না এবং এটির মাত্র দুটি উৎপাদক হলো ১ এবং তার নিজস্ব সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, ২, ৩, ৫, ৭, ১১ ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা। কিন্তু ৪ একটি মৌলিক সংখ্যা নয় কারণ এটির উৎপাদক হলো ১, ২, এবং ৪।]

সুতরাং, সেটের উপাদানগুলো হলো, B = {2, 3, 5, 7}.

গ) C = {x ∈ Z: x⁴ ＜ 264} 

সুতরাং, সেটের উপাদানগুলো হলো, C = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} 

[দ্রষ্টব্য: সারণীতে, হ্যাঁ নির্দেশ করে যে, উপাদানটি সেটের জন্য নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে, এবং না নির্দেশ করে তা নয়। B সেটের জন্য, প্রাইম নম্বর কলামটি নির্দেশ করে যে সংখ্যাটি প্রাইম কি না, এবং অন্যান্য কলাম নির্দেশ করে যে সংখ্যাটির বর্গ ৫০ এর কম বা সমান।]

প্রশ্ন-১.২. সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো: 

ক) A = {1, 3, 5,…,101} 

খ) B = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}

Solution:

সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ:

ক) A = {x ∈ N: x বিজোড় এবং 1 ≤ x ≤ 101}

ব্যাখ্যা:

• x ∈ N বোঝায় যে x একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা।

• x x বিজোড় নির্দিষ্ট করে যে সেটের উপাদানগুলো বিজোড় সংখ্যা।

• 1 ≤ x ≤ 101 1 থেকে 101 পর্যন্ত সংখ্যার পরিসর নির্দিষ্ট করে।

খ) B = {x ∈ N: x = n² যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 2 ≤ n ≤ 10}

ব্যাখ্যা:

• x ∈ N বোঝায় যে x একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা।

• x = n² নির্দিষ্ট করে যে সেটের উপাদানগুলি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র।

• n নির্দিষ্ট করে যে n হলো একটি "প্রাকৃতিক সংখ্যা"৷

• 2 ≤ n ≤ 10, n-এর মানকে 2 থেকে 10 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ করে। 

এটি নিশ্চিত করে যে আমরা 2 থেকে 10 পর্যন্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গ বিবেচনা করছি।

প্রশ্ন-১.৩. যদি A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 1, 3, 5, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে নিচের সেটগুলো নির্ণয় করো: 

ক) A ∪ B 

খ) A ∩ C 

গ) B \ C 

ঘ) A ∪ (B ∩ C) 

ঙ) A ∩ (B ∪ C)

Solution:

প্রদত্ত সেটগুলি A, B, এবং C ব্যবহার করে নির্দিষ্ট সেটগুলি সন্ধান করি: 

প্রদত্ত সেট: 

A= {1,2,3,4,5} 

B= {0,1,3,5,6} 

C= {1,5,6} 

ক) A ∪ B 

(A ইউনিয়ন / সংযোগ B): 

A ∪ B= {1,2,3,4,5} ∪ {0,1,3,5,6}

A ∪ B= {0,1,2,3,4,5,6} 

সুতরাং, A ∪ B= {0,1,2,3,4,5,6} (উওর)

খ) A ∩ C 

(A ইন্টারসেকশন / ছেদ C): 

A ∩ C= {1,2,3,4,5} ∩ {1,5,6}

A ∩ C= {1,5} 

সুতরাং, A ∩ C= {1,5} (উওর)

গ) B ∖ C 

(B ডিফারেন্স / অন্তর C): 

B ∖ C= {0,1,3,5,6} \ {1,5,6}

B ∖ C= {0,3} 

সুতরাং, B ∖ C= {0,3} (উওর)

ঘ) A ∪ (B ∩ C) 

(A ইউনিয়ন (B ইন্টারসেকশন C): 

(B ∩ C)= {0,1,3,5,6} ∩ {1,5,6} = {1,5,6}

A ∪ (B ∩ গ)= A ∪ {1,5,6}

A ∪ (B ∩ C)= {1,2,3,4,5} ∪ {1,5,6}

A ∪ (B ∩ C)= {1,2,3,4,5,6} 

সুতরাং, A ∪ (B ∩ C)= {1,2,3,4,5,6} (উওর)

e) A ∩ (B ∪ C) 

A ইন্টারসেকশন (B ইউনিয়ন C): 

B ∪ C={0,1,3,5,6} ∪ {1,5,6} ={0,1,3,5,6}

A ∩ (B ∪ C)= A ∩ {0,1,3,5,6}

A ∩ (B ∪ C)={1,2,3,4,5} ∩ {0,1,3,5,6}

A ∩ (B ∪ C)={1,3,5}

সুতরাং, A ∩ (B ∪ C)={1,3,5} (উওর)

প্রশ্ন-১.৪. যদি U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {0, 2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7}, হয়, তবে নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করো: 

ক) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c 

খ) (B ∩ C)^c = B^c ∪ C^c 

গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) 

ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Solution:

ক) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c 

প্রদত্ত সেট: 

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 

A = {1,3,5,7} 

B = {0,2,4,6} 

C = {3,4,5,6,7}

এখানে,

A ∪ B = {1,3,5,7} ∪ {0,2,4,6} 

A ∪ B = {0,1,2,3,4,5,6,7}

(A ∪ B)^c = U - (A ∪ B) 

(A ∪ B)^c = U - {0,1,2,3,4,5,6,7}

(A ∪ B)^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {0,1,2,3,4,5,6,7}

(A ∪ B)^c = {8,9} (বামপক্ষ)

আবার,

A^c = U - A 

A^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {1,3,5,7} 

A^c = {0,2,4,6,8,9} 

B^c = U - B

B^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {0,2,4,6} 

B^c = {1,3,5,7,8,9} 

A^c ∩ B^c = {0,2,4,6,8,9} ∩ {1,3,5,7,8,9} 

A^c ∩ B^c = {8,9} (ডানপক্ষ)

যেহেতু {8,9} = {8,9}, সুতরাং, (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c সম্পর্কটি সত্য।  (উওর)

খ) (B ∩ C)^c = B^c ∪ C^c 

প্রদত্ত সেট: 

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 

A = {1,3,5,7} 

B = {0,2,4,6} 

C = {3,4,5,6,7}

এখানে,

(B ∩ C) = {0,2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}

(B ∩ C) = {4,6}

(B ∩ C)^c = U - (B ∩ C)

(B ∩ C)^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {4,6}

(B ∩ C)^c = {0,1,2,3,5,7,8,9}  (বামপক্ষ)

আবার,

B^c = U - B 

B^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {0,2,4,6} 

B^c = {1,3,5,7,8,9} 

C^c = U - C 

C^c = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {3,4,5,6,7} 

C^c = {0,1,2,8,9} 

B^c ∪ C^c= {1,3,5,7,8,9} ∪ {0,1,2,8,9}

B^c ∪ C^c= {0,1,2,3,5,7,8,9}  (ডানপক্ষ)

যেহেতু {0,1,2,3,5,7,8,9} = {0,1,2,3,5,7,8,9}, সুতরাং, (B ∩ C)^c = B^c ∪ C^c সম্পর্কটি সত্য।  (উওর)

গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) 

প্রদত্ত সেট: 

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 

A = {1,3,5,7} 

B = {0,2,4,6} 

C = {3,4,5,6,7}

এখানে,

A ∪ B = {1,3,5,7} ∪ {0,2,4,6}

A ∪ B = {0,1,2,3,4,5,6,7}

 

(A ∪ B) ∩ C = {0,1,2,3,4,5,6,7} ∩ C

(A ∪ B) ∩ C = {0,1,2,3,4,5,6,7} ∩ {3,4,5,6,7}

(A ∪ B) ∩ C = {3,4,5,6,7}  (বামপক্ষ)

আবার,

A ∩ C = {1,3,5,7} ∩ {3,4,5,6,7}

A ∩ C = {3,5,7}

B ∩ C = {0,2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}

B ∩ C = {4,6} 

(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)= {3,5,7} ∩ {4,6} 

(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)= { }  (ডানপক্ষ)

যেহেতু {3,4,5,6,7} ≠ { },  সুতরাং, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) সম্পর্কটি সত্য নয়।   (উওর)

ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 

প্রদত্ত সেট: 

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 

A = {1,3,5,7} 

B = {0,2,4,6} 

C = {3,4,5,6,7}

এখানে,

A ∩ B = {1,3,5,7} ∩ {0,2,4,6} 

A ∩ B = ∅ 

(A ∩ B) ∪ C = ∅ ∪ C 

(A ∩ B) ∪ C = C 

(A ∩ B) ∪ C = {3,4,5,6,7}  (বামপক্ষ)

আবার,

A ∪ C = {1,3,5,7} ∪ {3,4,5,6,7} 

A ∪ C = {1,3,4,5,6,7} 

B ∪ C = {0,2,4,6} ∪ {3,4,5,6,7} 

B ∪ C = {0,2,3,4,5,6,7} 

(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)=  {1,3,4,5,6,7} ∩ {0,2,3,4,5,6,7}

(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)= {3,4,5,6,7} (ডানপক্ষ)

যেহেতু {3,4,5,6,7} = {3,4,5,6,7},  সুতরাং, (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) সম্পর্কটি সত্য।   (উওর)

প্রশ্ন-১.৫. মান নির্ণয় করো: 

ক) N ∩ 2N 

খ) N ∩ A 

গ) 2N ∩ P 

যেখানে, N সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, 2N সকল ধনাত্মক জোড় সংখ্যার সেট, A সকল বিজোড় সংখ্যার সেট, P সকল মৌলিক সংখ্যার সেট।

Solution:

মান নির্ণয় :

ক) N ∩ 2N 

N সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত, N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

2N এমন সমস্ত সংখ্যা নিয়ে গঠিত যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বিগুণ, 2N = {2, 4, 6, 8, 10, ...} 

N এবং 2N এর ছেদ দুটি সেটে থাকা সংখ্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করবে, যা জোড় সংখ্যা।  

   N ∩ 2N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, ...} 

∴ N ∩ 2N = {2, 4, 6, 8, 10, ...}   (উওর)

খ) N ∩ A 

N সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত, N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 

A সমস্ত বিজোড় সংখ্যা নিয়ে গঠিত, A = {1, 3, 5, 7, 9, ...} 

N এবং A-এর ছেদ দুটি সেটে উপস্থিত শুধুমাত্র সংখ্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করবে, যা বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।  

   N ∩ A = {1, 2, 3, 4, 5, ...} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, ...}

∴ N ∩ A = {1, 3, 5, 7, 9, ...}  (উওর)

গ) 2N ∩ P

 

(2N) এটি এমন সমস্ত সংখ্যার সেটের প্রতিনিধিত্ব করে যা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার দ্বিগুণ এবং (P) সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেট (P)। 

2N এমন সমস্ত সংখ্যা নিয়ে গঠিত যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বিগুণ, 2N = {2, 4, 6, 8, 10, ...} 

P সমস্ত মৌলিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 

2N এবং P এর ছেদ দুটি সেটে উপস্থিত শুধুমাত্র সংখ্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করবে, যা মৌলিক সংখ্যা যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বিগুণ। 

   2N ∩ P = {2, 4, 6, 8, 10, ...} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 

∴ 2N ∩ P = {2}    (উওর)

প্রশ্ন-১.৬. ধরি U সকল ত্রিভুজের সেট হয় এবং A সকল সমকোণী ত্রিভুজের সেট। তাহলে সেট A^c বর্ণনা করো।

Solution:

দেওয়া আছে, 

U সমস্ত ত্রিভুজের সেটকে প্রতিনিধিত্ব করে।

A সমস্ত সমকোণী ত্রিভুজের সেটকে প্রতিনিধিত্ব করে।

A এর পূরক সেট, চিহ্নিত করা হয় A' বা A^c, U বা র্সাবিক সেট থেকে A এর সদস্যদের বাদ দিয়ে বাকিদের নিয়ে গঠিত সেট হলো A এর পূরক সেট।

সুতরাং, A' or A^c সমস্ত ত্রিভুজের প্রতিনিধিত্ব করে যেগুলি সমকোণী ত্রিভুজ নয়।

প্রশ্ন-১.৭. ভেনচিত্রের মাধ্যমে দেখাও যে, যে কোন সেট A, B ও C এর জন্য- 

ক) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c 

খ) (B ∩ C)^c = B^c ∪ C^c 

গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) 

ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Solution:

ভেনচিত্রের মাধ্যমে নিচের সমীকরণগুলোর সত্যতা যাচাই করতে হবে:

ক) (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

যে কোনো সেট A ও B এর জন্য ভেনচিত্র নিচে দেওয়া হলোঃ

সুতরাং, ভেনচিত্রের মাধ্যমে পাই, (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

খ) (B ∩ C)^c = B^c ∪ C^c

যে কোনো সেট A, B ও C এর জন্য ভেনচিত্র নিচে দেওয়া হল

সুতরাং, ভেনচিত্রের মাধ্যমে পাই, (B ∩ C)^c = B^c ∪ C^c

গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

সুতরাং, ভেনচিত্রের মাধ্যমে পাই, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

সুতরাং, ভেনচিত্রের মাধ্যমে পাই, (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

প্রশ্ন-১.৮. কোন শ্রেণীর ৪০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ২৫ জন পাখি পছন্দ করে এবং ১৫ জন বিড়াল পছন্দ করে। পাখি ও বিড়াল দুটি প্রাণীই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১০ জন। কতজন শিক্ষার্থী পাখি ও বিড়াল কোনটিই পছন্দ করে না তা ভেনচিত্রের সাহায্য নির্ণয় করো।

Solution:

ভেনচিত্রের সাহায্যে এই সমস্যাটি সমাধান করা যাক:

• A হলো ছাত্রদের সেট, যারা পাখি পছন্দ করে,

• B হলো ছাত্রদের সেট, যারা বিড়াল পছন্দ করে,

• U হল মোট ছাত্রদের সেট

প্রদত্ত যে 10 জন ছাত্র আছে যারা পাখি এবং বিড়াল উভয়কেই পছন্দ করে, আমরা এটিকে দুটি বৃত্তের ওভারল্যাপিং অঞ্চলে উপস্থাপন করব। এখন, আমাদের কাছে থাকা তথ্যগুলি পূরণ করা যাক:

• A (পাখি) = 25

• B (বিড়াল) = 15

• A ∩ B (পাখি এবং বিড়াল উভয়ই) = 10

• U (মোট ছাত্র সংখ্যা) = 40

এখন, আমরা এমন ছাত্রদের সংখ্যা গণনা করতে পারি যারা পাখি বা বিড়াল পছন্দ করে না।

মোট ছাত্র সংখ্যা, U = 40

অন্তর্ভুক্তি-বর্জনের নীতি ব্যবহার করে:

    মোট ছাত্র = A + B - (A ∩ B) + কোনটিই নয়

        40 = 25 + 15 - 10 + কোনটিই নয়   [মান বসিয়ে]

কোনটিই নয় = 40 - 25 - 15 + 10     [কোনটিই নয় এর মান বের করি]

কোনটিই নয় = 10

সুতরাং, 10 জন শিক্ষার্থী পাখি বা বিড়াল পছন্দ করে না। (উওর)

প্রশ্ন-১.৯. যদি P= {a, b}, Q= {0, 1, 2} এবং R= {0, 1, a} হয়, তবে নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় করো। 

ক) P × Q, P × P, Q × Q, Q × P and P × ∅ 

খ) (P × Q) ∩ (P × R) 

গ) P × (Q ∩ R) 

ঘ) (P × Q) ∩ R 

ঙ) n(P × Q), n(Q × Q) 

চ) (গ) এবং (ঘ) এর সমতার বিষয়ে তোমার যুক্তি উপস্থাপন করো।

Solution:

নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় করি 

ক) P × Q,  P × P,  Q × Q,  Q × P  and  P × ∅ 

দেওয়া আছে, 

P= {a,b}

Q= {0,1,2}

R= {0,1,a}

প্রতিটি সেটের কার্তেসীয় গুণজ বের করি:

P×Q = {a,b} × {0,1,2} 

        = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)}

P×P = {a,b} × {a,b}

        = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)}

Q×Q = {0,1,2} × {0,1,2} 

         = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}

Q×P = {0,1,2} × {0,1,2} 

        = {(0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}

P×∅ = ∅

প্রদত্ত রাশিগুলোর মান

P×Q = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)} 

P×P = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)} 

Q×Q = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)} 

Q×P = {(0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} 

P×∅ = ∅  

(উওর)

খ) (P × Q) ∩ (P × R)

দেওয়া আছে, 

P= {a,b}

Q= {0,1,2}

R= {0,1,a}

আমাদের P × Q এবং P × R এর মধ্যে সাধারণ উপাদানগুলি খুঁজে বের করতে হবে।

P × Q = {a,b} × {0,1,2}

P × Q = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)}

P × R = {a,b} × {0,1,a}

P × R = {(a,0), (a,1), (a,a), (b,0), (b,1), (b,a)}

তাদের ছেদ হলো, (P × Q) ∩ (P × R) = {(a,0), (a,1), (b,0), (b,1)}

সুতরাং, নির্ণেয় মান, (P × Q) ∩ (P × R) = {(a,0), (a,1), (b,0), (b,1)}  (উওর)

গ) P × (Q ∩ R)

দেওয়া আছে, 

P= {a,b}

Q= {0,1,2}

R= {0,1,a}

প্রথমে Q ∩ R হতে পাই, 

Q ∩ R = {0,1,2} ∩ {0,1,a} 

           = {0,1}

তারপর, P ও (Q ∩ R) এর কার্তেসীয় গুণজ মান বের করি

P × (Q ∩ R) = P × {0,1} 

P × (Q ∩ R) = {a,b} × {0,1}

P × (Q ∩ R) = {(a,0), (a,1), (b,0), (b,1)}

সুতরাং, নির্ণেয় মান, P × (Q ∩ R) = {(a,0), (a,1), (b,0), (b,1)}  (উওর)

ঘ) (P × Q) ∩ R

দেওয়া আছে, 

P= {a,b}

Q= {0,1,2}

R= {0,1,a}

এখানে,

P × Q = {a,b} × {0,1,2}

P × Q = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)} 

R = {0,1,a}

তাদের ছেদ হলো, 

(P × Q) ∩ R = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)} ∩ R 

(P × Q) ∩ R = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)} ∩ {0,1,a}

(P × Q) ∩ R = {(a,0), (a,1)}

সুতরাং, নির্ণেয় মান, (P × Q) ∩ R = {(a,0), (a,1)}    (উওর)

ঙ) n(P × Q), n(Q × Q) 

দেওয়া আছে, 

P= {a,b}

Q= {0,1,2}

R= {0,1,a}

এখানে,

P × Q = {a,b} × {0,1,2}

P × Q = {(a,0), (a,1), (a,2), (b,0), (b,1), (b,2)}

n(P × Q) এ উপাদানগুলোর সংখ্যা  6 টি 

∴ n(P × Q) = 6   (উওর)

চ) (গ) এবং (ঘ) এর সমতার বিষয়ে তোমার যুক্তি উপস্থাপন করো।

অর্থাৎ P × (Q ∩ R)  এবং (P × Q) ∩ R এর সমতার বিষয়ে যুক্তি উপস্থাপন করতে হবে।

দেওয়া আছে, 

P= {a,b}

Q= {0,1,2}

R= {0,1,a}

(গ) হতে প্রাপ্ত P × (Q ∩ R) এর নির্ণেয় মান, P × (Q ∩ R) = {(a,0), (a,1), (b,0), (b,1)}  

(ঘ) হতে প্রাপ্ত (P × Q) ∩ R এর নির্ণেয় মান, নির্ণেয় মান, (P × Q) ∩ R = {(a,0), (a,1)}

এই দুটির মান তুলনা করে পাই,

P × (Q ∩ R) = {(a,0), (a,1), (b,0), (b,1)}

(P × Q) ∩ R = {(a,0), (a,1)}

প্রশ্ন-১.১০. P= {0, 1, 2, 3}, Q = {1, 3, 4} এবং R= P ∩ Q হলে, 

 i) P × R এবং R × Q নির্ণয় করো। 

ii) n(P × R) এবং n(R × Q) এর মান বের করো।

Solution:

і) P × R এবং R × Q নির্ণয় করতে হবে-

দেওয়া আছে, 

P = {0, 1, 2, 3}, 

Q = {1, 3, 4} এবং 

R = P ∩ Q 

এখানে, 

R = P ∩ Q R 

    = {0, 1, 2, 3} ∩ {1, 3, 4} 

    = {1,3} 

এখন, P ✕ R সেটের কার্তেসীয় গুণজ বের করি,

P ✕ R = {0, 1, 2, 3} ✕ {1,3}

P ✕ R = {(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)} 

সুতরাং, P ✕ R এর নির্ণেয় মানগুলো হলো (0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1) এবং (3,3)   (Answer)

আবার, R ✕ Q সেটের কার্তেসীয় গুণজ বের করি,

R ✕ Q = {1,3} ✕ {1, 3, 4}

R ✕ Q = {(1,1),(1,3),(1,4),(3,1),(3,3),(3,4)}

সুতরাং, P ✕ R এর নির্ণেয় মানগুলো হলো (1,1),(1,3),(1,4),(3,1),(3,3) এব (3,4)       (Answer) 

ii) n(P × R) এবং n(R × Q) এর মান বের করতে হবে

এখন, নির্ণেয় মানগুলো P ✕ R = {(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}

এখানে, P ✕ R সেটের উপাদান সংখ্যা 8 টি

সুতরাং, n(P ✕ R) = 8    (Answer)

আবার, নির্ণেয় মানগুলো R ✕ Q = {(1,1),(1,3),(1,4),(3,1),(3,3),(3,4)}

এখানে, R ✕ Q সেটের উপাদান সংখ্যা 6 টি

সুতরাং, n(R ✕ Q) = 6    (Answer)

প্রশ্ন-১.১১. যদি (P × Q) = {(0, a), (1, c), (2, b)} হয়, তবে P এবং Q নির্ণয় করো।

Solution:

দেত্তয়া আছে, 

(P × Q) = {(0, a), (1, c), (2, b)} 

P এবং Q সেট খুঁজে বের করতে হবে 

(P × Q) সেটে ক্রম অনুসারে সাজানো জোড়া রয়েছে যেখানে প্রথম উপাদানটি সেট P থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদানটি সেট Q থেকে। 

(P × Q) থেকে সেট P পেতে আমরা ক্রম অনুসারে সাজানো জোড়ার প্রথম উপাদানগুলো বের করতে পারি: 

P = {0, 1, 2} 

একইভাবে, সেট P পেতে আমরা ক্রম অনুসারে সাজানো জোড়ার দ্বিতীয় উপাদানগুলো বের করতে পারি: 

Q = {a, b, c} 

সুতরাং, সেটগুলো হলো p = {0, 1, 2} এবং Q = {a, b, c}    (Answer)