বাস্তব সমস্যা সমাধানে সহসমীকরণ (System of Equations in Real Problems World)
সহসমীকরণগুলি বাস্তব জীবনের সমস্যাগুলি সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সহসমীকরণের মাধ্যমে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান বের করা যায় যেখানে দুটি বা ততোধিক অজানা চলকের মধ্যে সম্পর্ক থাকে। নিচে কিছু উদাহরণসহ সহসমীকরণের ব্যবহার দেখানো হলো:
1. আর্থিক পরিকল্পনা:
উদাহরণ: ধরা যাক, একটি বই এবং একটি পেন্সিল কিনেছেন। একটি বইয়ের মূল্য ৫ টাকা এবং একটি পেন্সিলের মূল্য ২ টাকা। মোট ৩২ টাকা খরচ করেছেন। ৮টি জিনিস কিনেছেন। এখন, বই এবং পেন্সিলের সংখ্যা নির্ধারণ করতে হবে।
সমীকরণ:5x + 2y = 32 (যেখানে x বইয়ের সংখ্যা এবং y পেন্সিলের সংখ্যা)
x + y = 8
সমাধান: এই দুটি সমীকরণ একসাথে সমাধান করে বই এবং পেন্সিলের সংখ্যা জানা যাবে।
2. বাণিজ্য এবং উৎপাদন:
উদাহরণ: একটি কোম্পানি দুটি প্রকারের প্রোডাক্ট তৈরি করে। প্রথম প্রোডাক্ট তৈরিতে প্রতি ইউনিটে ৩ ঘণ্টা এবং দ্বিতীয় প্রোডাক্ট তৈরিতে ৫ ঘণ্টা লাগে। তারা মোট ৫০ ঘণ্টা কাজ করতে পারে এবং মোট ১২টি প্রোডাক্ট তৈরি করতে চায়। এখন, প্রতিটি প্রোডাক্ট কতগুলি তৈরি করতে হবে তা নির্ধারণ করতে হবে।
সমীকরণ:
3x + 5y = 50 (যেখানে x প্রথম প্রোডাক্টের সংখ্যা এবং y দ্বিতীয় প্রোডাক্টের সংখ্যা)
x + y = 12
সমাধান: এই দুটি সমীকরণ একসাথে সমাধান করে প্রতিটি প্রোডাক্টের সংখ্যা জানা যাবে।
দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ সমাধান পদ্ধতি (Methods of solving simultaneous linear equations in two variables)
দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। এই পদ্ধতিগুলি মূলত দুটি প্রধান ভাগে বিভক্ত: জ্যামিতিক পদ্ধতি এবং বীজগাণিতিক পদ্ধতি।
1. জ্যামিতিক পদ্ধতি (Geometric Method)
লৈখিক পদ্ধতি (Graphical Method):
এই পদ্ধতিতে প্রতিটি সরল সমীকরণকে একটি সরল রেখা হিসেবে লেখচিত্রে এঁকে দেখা হয়। যেখানে দুটি রেখা ছেদ করে, সেটি সমীকরণগুলির সমাধান।
উদাহরণ: x + y = 5 এবং 2x - y = 1 সমীকরণ দুটি লেখচিত্রে আঁকা হয় এবং যেখানে তারা ছেদ করে, সেটিই তাদের সমাধান বিন্দু।
জ্যামিতিক পর্যবেক্ষণ (Geometric Observations)
দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করলে নিম্নলিখিত শর্তগুলি পাওয়া যায়:
ক) যখন দুটি সরল রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে
যদি দুটি সরল রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সমীকরণগুলির একটি মাত্র সাধারণ সমাধান থাকে।
উদাহরণ:
y = 2x + 3,
y = -x + 1
এই দুটি সমীকরণ লেখচিত্রে আঁকলে তারা একটি বিন্দুতে ছেদ করবে, এবং সেই বিন্দুটিই তাদের একমাত্র সাধারণ সমাধান।
খ) যখন দুটি সরল রেখা একত্রে মিলে যায়
যদি দুটি সরল রেখা সম্পূর্ণভাবে একত্রে মিলে যায়, তাহলে শুধুমাত্র একটি সরল রেখা থাকে এবং সমীকরণগুলির অসীম সংখ্যক সাধারণ সমাধান থাকে।
উদাহরণ:
y = 2x + 3
2y = 4x + 6
এই দুটি সমীকরণ একই সরল রেখা নির্দেশ করে, তাই তাদের অসীম সংখ্যক সাধারণ সমাধান আছে।
গ) যখন দুটি সরল রেখা একে অপরকে ছেদ না করে এবং সমান্তরাল হয়
যদি দুটি সরল রেখা একে অপরকে ছেদ না করে এবং সমান্তরাল হয়, তবে সমীকরণগুলির কোনো সাধারণ সমাধান নেই।
উদাহরণ:
y = 2x + 3
y = 2x - 1
এই দুটি সমীকরণ লেখচিত্রে আঁকলে তারা সমান্তরাল থাকবে এবং কখনো একে অপরকে ছেদ করবে না, তাই তাদের কোনো সাধারণ সমাধান নেই।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method)
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি হলো দুটি চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ সমাধানের একটি বীজগাণিতিক পদ্ধতি। এই পদ্ধতিতে প্রথমে একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান বের করা হয় এবং তারপর সেই মানটিকে অন্য সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয়। এর ফলে আমরা একটি একক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ পাই, যা সমাধান করে অন্য চলকের মান নির্ধারণ করা হয়।
ধাপগুলো:
1. প্রথম ধাপ:
প্রথমে একটি সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান বের করা হয়।
2. দ্বিতীয় ধাপ:
সেই মানটি অন্য সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয় এবং একটি একক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ পাওয়া যায়।
3. তৃতীয় ধাপ:
একক চলকবিশিষ্ট সমীকরণটি সমাধান করে একটি চলকের মান বের করা হয়।
4. চতুর্থ ধাপ:
বের করা মানটি প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে অন্য চলকের মান নির্ধারণ করা হয়।
উদাহরণ:
ধরা যাক আমাদের দুটি সমীকরণ আছে:
x + y = 5
x - y = 1
সমাধান ধাপ:
1. প্রথম ধাপ:
প্রথম সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান বের করা হয়:
x + y = 5
বা, y = 5 - x
2. দ্বিতীয় ধাপ:
y = 5 - x মানটি দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয়:
2x - (5 - x) = 1
বা, 2x - 5 + x = 1
বা, 3x - 5 = 1
3. তৃতীয় ধাপ:
সমীকরণটি সমাধান করে x এর মান বের করা হয়:
3x - 5 = 1
বা, 3x = 6
বা, x = 2
4. চতুর্থ ধাপ:
x = 2 মানটি প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে y এর মান নির্ধারণ করা হয়:
x + y = 5
বা, 2 + y = 5
বা, y = 3
তাহলে, সমীকরণগুলির সমাধান হলো x = 2 এবং y = 3
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method)
অপনয়ন পদ্ধতি হলো দুটি চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ সমাধানের একটি বীজগাণিতিক পদ্ধতি। এই পদ্ধতিতে দুটি সমীকরণের কোনো একটি চলককে বাতিল (eliminate) করে একক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ তৈরি করা হয়। এর ফলে আমরা একটি চলকের মান নির্ধারণ করতে পারি, যা পরবর্তীতে অন্য চলকের মান নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়।
ধাপগুলো:
1. প্রথম ধাপ:
দুটি সমীকরণের কোনো একটি চলকের সহগ সমান করা হয়। এজন্য প্রয়োজনে সমীকরণগুলিকে গুণ করা হয়।
2. দ্বিতীয় ধাপ:
দুইটি সমীকরণ যোগ বা বিয়োগ করে একটি চলককে বাতিল করা হয় এবং একক চলকবিশিষ্ট একটি নতুন সমীকরণ তৈরি করা হয়।
3. তৃতীয় ধাপ:
নতুন সমীকরণটি সমাধান করে একক চলকের মান নির্ধারণ করা হয়।
4. চতুর্থ ধাপ:
নির্ধারিত মানটি যেকোনো একটি মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে অন্য চলকের মান নির্ধারণ করা হয়।
উদাহরণ:
ধরা যাক আমাদের দুটি সমীকরণ আছে:
2x + 3y = 8
4x - y = 2
সমাধান ধাপ:
1. প্রথম ধাপ:
দুটি সমীকরণ (2x + 3y = 8) এবং (4x - y = 2) এর কোনো একটি চলকের সহগ সমান করা, প্রথম সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে:
2(2x + 3y) = 2 ✕ 8
বা, 4x + 6y = 16
2. দ্বিতীয় ধাপ:
দুটি সমীকরণ (4x + 6y = 16) and (4x - y = 2) বিয়োগ করে x চলককে বাতিল করতে হবে:
(4x + 6y) - (4x - y) = 16 - 2
বা, 4x + 6y - 4x + y = 14
বা, 7y = 14
3. তৃতীয় ধাপ:
y চলকের মান নির্ধারণ:
বা, 7y = 14
বা, y = 14 7
বা, y = 2
4. চতুর্থ ধাপ:
y = 2 মানটি যেকোনো একটি মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে x এর মান নির্ধারণ:
2x + 3y = 8
বা, 2x + 3 ✕ 2 = 8
বা, 2x + 6 = 8
বা, 2x = 8 - 6
বা, 2x = 2
বা, x = 1
তাহলে, সমীকরণগুলির সমাধান হলো x = 1 এবং y = 2
আড়গুণন পদ্ধতি (Cross Multiplication Method)
আড়গুণন পদ্ধতি হলো দুটি চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ সমাধানের একটি বীজগাণিতিক পদ্ধতি। এই পদ্ধতিতে দুটি সরল সমীকরণের সহগগুলো আড়গুণন করে সমীকরণের সমাধান নির্ধারণ করা হয়।
দুটি সরল সহসমীকরণ
ধরা যাক, দুটি চলকবিশিষ্ট দুটি সরল সহসমীকরণ দেওয়া আছে:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
আড়গুণন পদ্ধতির ধাপগুলো:
1. প্রথম ধাপ:
সমীকরণ দুটির সহগগুলো আড়গুণন করে দুটি নতুন সমীকরণ তৈরি করা হয়।
2. দ্বিতীয় ধাপ:
দুটি সমীকরণ থেকে চলক x এবং y এর মান নির্ধারণ করা হয়।
সমীকরণ সেট:
x(b1c2 - b2c1) = y(c1a2 - c2a1) = 1(a1b2 - a2b1)
এখানে,
x = b1c2 - b2c1a1b2 - a2b1
y = c1a2 - c2a1a1b2 - a2b1
উদাহরণ:
ধরা যাক আমাদের দুটি সমীকরণ হলো:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 7
সমাধান ধাপ:
1. প্রথম ধাপ:
এখানে,
a1 = 2, b1 = 3, c1 = 5
a2 = 4, b2 = 6, c2 = 7
2. দ্বিতীয় ধাপ:
x = (3 ✕ 7) - (6 ✕ 5)][(2 ✕ 6) - (4 ✕ 3) = 21 - 30)(12 - 12 = - 90 (যা অনির্ণেয়)
y = (5 ✕ 4) - (7 ✕ 2)(2 ✕ 6) - (4 ✕ 3) = 20 - 1412 - 12 = 20 - 1412 - 12 = 60 (যা অনির্ণেয়)
এখানে সমাধান অনির্ণেয় হওয়ায় এটি একটি অসমঞ্জস সমীকরণ (inconsistent equations)।
দুইটি সরল সহসমীকরণ সমাধান যোগ্যতা (Consistency of Two Simultaneous Linear Equations)
সমঞ্জস (Consistent)
এই বৈশিষ্টের মাধ্যমে আমরা পাবো জানা যায় যে, একটি সাধারণ সমাধান (Unique Solution) আছে:
যদি দুটি সরল রেখা এক বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সমীকরণগুলির একটি সাধারণ সমাধান থাকে।
উদাহরণ:
আড়গুণন পদ্ধতির ধাপগুলো:
1. প্রথম ধাপ:
সমীকরণ দুটির সহগগুলো আড়গুণন করে দুটি নতুন সমীকরণ তৈরি করা হয়।
2. দ্বিতীয় ধাপ:
দুটি সমীকরণ থেকে চলক x এবং y এর মান নির্ধারণ করা হয়।
সমীকরণ সেট:
x(b1c2 - b2c1) = y(c1a2 - c2a1) = 1(a1b2 - a2b1)
এখানে,
x = b1c2 - b2c1a1b2 - a2b1
y = c1a2 - c2a1a1b2 - a2b1
উদাহরণ:
ধরা যাক আমাদের দুটি সমীকরণ হলো:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 7
সমাধান ধাপ:
1. প্রথম ধাপ:
এখানে,
a1 = 2, b1 = 3, c1 = 5
a2 = 4, b2 = 6, c2 = 7
2. দ্বিতীয় ধাপ:
x = (3 ✕ 7) - (6 ✕ 5)][(2 ✕ 6) - (4 ✕ 3) = 21 - 30)(12 - 12 = - 90 (যা অনির্ণেয়)
y = (5 ✕ 4) - (7 ✕ 2)(2 ✕ 6) - (4 ✕ 3) = 20 - 1412 - 12 = 20 - 1412 - 12 = 60 (যা অনির্ণেয়)
এখানে সমাধান অনির্ণেয় হওয়ায় এটি একটি অসমঞ্জস সমীকরণ (inconsistent equations)।
দুইটি সরল সহসমীকরণ সমাধান যোগ্যতা (Consistency of Two Simultaneous Linear Equations)
দুইটি সরল সহসমীকরণের সমাধান যোগ্যতা নির্ধারণ করা হয় সমীকরণগুলির সমাধান আছে কিনা এবং যদি থাকে তবে কয়টি সমাধান আছে তা দ্বারা। এর ভিত্তিতে সমীকরণগুলিকে তিনটি ভাগে ভাগ করা যায়:
সমঞ্জস (Consistent)
এই বৈশিষ্টের মাধ্যমে আমরা পাবো জানা যায় যে, একটি সাধারণ সমাধান (Unique Solution) আছে:
যদি দুটি সরল রেখা এক বিন্দুতে ছেদ করে, তবে সমীকরণগুলির একটি সাধারণ সমাধান থাকে।
উদাহরণ:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
যদি a1a2 ≠ b1b2, তবে একটি সাধারণ সমাধান থাকবে।
উদাহরণ:
2x + 3y = 5
4x - y = 1
এই সমীকরণগুলির একটি সাধারণ সমাধান আছে।
অসমঞ্জস (Inconsistent)
এই বৈশিষ্টের মাধ্যমে জানা যায় যে. কোনো সমাধান নেই (No Solution):
যদি দুটি সরল রেখা সমান্তরাল হয় এবং কখনো ছেদ না করে, তবে সমীকরণগুলির কোনো সমাধান নেই।
উদাহরণ:
উদাহরণ:
2x + 3y = 5
4x - y = 1
এই সমীকরণগুলির একটি সাধারণ সমাধান আছে।
অসমঞ্জস (Inconsistent)
এই বৈশিষ্টের মাধ্যমে জানা যায় যে. কোনো সমাধান নেই (No Solution):
যদি দুটি সরল রেখা সমান্তরাল হয় এবং কখনো ছেদ না করে, তবে সমীকরণগুলির কোনো সমাধান নেই।
উদাহরণ:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
যদি a1a2 = b1b2 ≠ c1c2, তবে কোনো সমাধান নেই।
উদাহরণ:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 10
এই সমীকরণগুলির কোনো সমাধান নেই কারণ এরা সমান্তরাল।
অসীম সমাধান (Infinitely Many Solutions)
এই বৈশিষ্টের মাধ্যমে জানা যায় যে, অনেকগুলি সমাধান (Infinitely Many Solutions) আছে:
যদি দুটি সরল রেখা একই হয়, তবে সমীকরণগুলির অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে।
উদাহরণ:
উদাহরণ:
2x + 3y = 5
4x + 6y = 10
এই সমীকরণগুলির কোনো সমাধান নেই কারণ এরা সমান্তরাল।
অসীম সমাধান (Infinitely Many Solutions)
এই বৈশিষ্টের মাধ্যমে জানা যায় যে, অনেকগুলি সমাধান (Infinitely Many Solutions) আছে:
যদি দুটি সরল রেখা একই হয়, তবে সমীকরণগুলির অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে।
উদাহরণ:
a1x + b1y = c1 এবং
a2x + b2y = c2
যদি a1a2 = b1b2 = c1c2, তবে অসীম সমাধান থাকবে।
উদাহরণ:
2x + 3y = 6
4x + 6y = 12
এই সমীকরণগুলির অসীম সংখ্যক সমাধান আছে কারণ এরা একই রেখা নির্দেশ করে।
সংক্ষেপে:
সমঞ্জস (Consistent):
এক বিন্দুতে ছেদ করে: একটি সাধারণ সমাধান (Unique Solution)
একই রেখা: অসীম সমাধান (Infinitely Many Solutions)
অসমঞ্জস (Inconsistent):
সমান্তরাল রেখা: কোনো সমাধান নেই (No Solution)
দ্বিঘাত সমীকরণ: ax2 + bx + c = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সাধারণ সূত্র-
x = -b ±√ b2 - 4ac 2a
নিশ্চয়ক (Discriminant)
নিশ্চয়ক বলতে কী বোঝায়:
b2 - 4ac
এই নিশ্চয়কের মান দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করে।
নিশ্চয়কের মান অনুযায়ী মূলের প্রকৃতি
1. যদি b2 - 4ac = 0
মূলগুলি বাস্তব এবং সমান হবে।
দুইটি সমান মূল: x = - b2a
উদাহরণ:
উদাহরণ:
2x + 3y = 6
4x + 6y = 12
এই সমীকরণগুলির অসীম সংখ্যক সমাধান আছে কারণ এরা একই রেখা নির্দেশ করে।
সংক্ষেপে:
সমঞ্জস (Consistent):
এক বিন্দুতে ছেদ করে: একটি সাধারণ সমাধান (Unique Solution)
একই রেখা: অসীম সমাধান (Infinitely Many Solutions)
অসমঞ্জস (Inconsistent):
সমান্তরাল রেখা: কোনো সমাধান নেই (No Solution)
সমীকরণগুলির সহগগুলো তুলনা করে এদের সমাধান যোগ্যতা নির্ধারণ করা যায়। এটি সহসমীকরণগুলি সমাধানের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধাপ যা বুঝতে সাহায্য করে সমাধান আছে কিনা এবং থাকলে কেমন ধরনের সমাধান আছে।
এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান পদ্ধতি
দ্বিঘাত সমীকরণ: ax2 + bx + c = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সাধারণ সূত্র-
x = -b ±√ b2 - 4ac 2a
নিশ্চয়ক (Discriminant)
নিশ্চয়ক বলতে কী বোঝায়:
b2 - 4ac
এই নিশ্চয়কের মান দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করে।
নিশ্চয়কের মান অনুযায়ী মূলের প্রকৃতি
1. যদি b2 - 4ac = 0
মূলগুলি বাস্তব এবং সমান হবে।
দুইটি সমান মূল: x = - b2a
উদাহরণ:
x2 - 2x + 1 = 0
এখানে, a = 1, b = - 2, এবং c = 1
নিশ্চয়ক = ( - 2)2 - 4⋅1⋅1 = 4 - 4 = 0
নিশ্চয়ক = ( - 2)2 - 4⋅1⋅1 = 4 - 4 = 0
সমাধান: x = 22 = 1 (দুইটি সমান মূল: 1 এবং 1)
2. যদি b2 - 4ac＞0 এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ:
মূলগুলি বাস্তব, অসমান এবং মূলদ (rational) হবে।
উদাহরণ:
2. যদি b2 - 4ac＞0 এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ:
মূলগুলি বাস্তব, অসমান এবং মূলদ (rational) হবে।
উদাহরণ:
x2 - 3x + 2 = 0
এখানে, a = 1, b = - 3, এবং c = 2
নিশ্চয়ক = ( - 3)2 - 4⋅1⋅2 = 9 - 8 = 1 (পূর্ণবর্গ)
নিশ্চয়ক = ( - 3)2 - 4⋅1⋅2 = 9 - 8 = 1 (পূর্ণবর্গ)
সমাধান: দুইটি বাস্তব, অসমান এবং মূলদ মূল (1 এবং 2)
3. যদি b2 - 4ac＞0 এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ নয়:
মূলগুলি বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ (irrational) হবে।
উদাহরণ:
3. যদি b2 - 4ac＞0 এবং এটি একটি পূর্ণবর্গ নয়:
মূলগুলি বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ (irrational) হবে।
উদাহরণ:
x2 - 2x - 3 = 0
এখানে, a = 1, b = - 2, এবং c = - 3
নিশ্চয়ক = ( - 2)2 - 4⋅1⋅( - 3) = 4 + 12 = 16 (পূর্ণবর্গ নয়)
নিশ্চয়ক = ( - 2)2 - 4⋅1⋅( - 3) = 4 + 12 = 16 (পূর্ণবর্গ নয়)
সমাধান: দুইটি বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ মূল।
4. যদি b2 - 4ac＜0:
দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই।
উদাহরণ:
4. যদি b2 - 4ac＜0:
দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই।
উদাহরণ:
x2 + x + 1 = 0
এখানে, a = 1, b = 1, এবং c = 1
নিশ্চয়ক = 12 - 4⋅1⋅1 = 1 - 4 = - 3
নিশ্চয়ক = 12 - 4⋅1⋅1 = 1 - 4 = - 3
সমাধান: কোনো বাস্তব মূল নেই।
সংক্ষেপে:
b2 - 4ac = 0: বাস্তব এবং সমান মূল।
b2 - 4ac＞0 এবং পূর্ণবর্গ: বাস্তব, অসমান এবং মূলদ মূল।
b2 - 4ac＞0 এবং পূর্ণবর্গ নয়: বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ মূল।
b2 - 4ac＜0: কোনো বাস্তব মূল নেই।
এই উপায়ে, b2 - 4ac বা নিশ্চয়ক ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করা যায়।
ধাপগুলো:
1. দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র আঁকা:
প্রথমে y = ax2 + bx + c ফাংশনটির লেখচিত্র আঁকা হয়।
এই ফাংশনটির গ্রাফ একটি পরাবৃত্ত হবে, যা y - অক্ষকে ছেদ করবে।
2. ক্ষেত্র নির্ধারণ:
লেখচিত্রটি x - অক্ষকে যেখানে যেখানে ছেদ করে সেই বিন্দুগুলো x - এর মান নির্ধারণ করে।
উদাহরণ:
ধরা যাক আমাদের সমীকরণটি হলো x2 - 4x + 3 = 0
1. দ্বিঘাত ফাংশন:
y = x2 - 4x + 3
2. লেখচিত্র আঁকা:
এই ফাংশনের লেখচিত্র একটি পরাবৃত্ত।
y - এর মান নির্ধারণ করতে x - এর বিভিন্ন মান দিয়ে y বের করতে হবে এবং সেই মানগুলিকে ব্যবহার করে লেখচিত্র আঁকতে হবে।
3. অক্ষ ছেদ বিন্দু নির্ধারণ:
এই ফাংশনের লেখচিত্র x - অক্ষকে যেখানেই ছেদ করবে সেই বিন্দুগুলোই আমাদের সমাধান।
x2 - 4x + 3 = 0 ফাংশনের লেখচিত্রটি x - অক্ষকে x = 1 এবং x = 3 বিন্দুতে ছেদ করবে।
বিশ্লেষণ:
x = 1 এবং x = 3 হলো আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।
লেখচিত্রের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সুবিধা:
1. দৃশ্যমান সমাধান:
লেখচিত্রের মাধ্যমে আমরা সমাধানগুলিকে সহজে চাক্ষুষ করতে পারি।
সংক্ষেপে:
b2 - 4ac = 0: বাস্তব এবং সমান মূল।
b2 - 4ac＞0 এবং পূর্ণবর্গ: বাস্তব, অসমান এবং মূলদ মূল।
b2 - 4ac＞0 এবং পূর্ণবর্গ নয়: বাস্তব, অসমান এবং অমূলদ মূল।
b2 - 4ac＜0: কোনো বাস্তব মূল নেই।
এই উপায়ে, b2 - 4ac বা নিশ্চয়ক ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করা যায়।
লেখচিত্রের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান (Solving Quadratic Equations with Graphs)
দ্বিঘাত সমীকরণ সাধারণত ax2 + bx + c = 0 আকারে থাকে। এই সমীকরণটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করতে হলে, আমাদেরকে প্রথমে দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র আঁকতে হবে। এই লেখচিত্রটি সাধারণত একটি পরাবৃত্ত আকারে হয়।
ধাপগুলো:
1. দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র আঁকা:
প্রথমে y = ax2 + bx + c ফাংশনটির লেখচিত্র আঁকা হয়।
এই ফাংশনটির গ্রাফ একটি পরাবৃত্ত হবে, যা y - অক্ষকে ছেদ করবে।
2. ক্ষেত্র নির্ধারণ:
লেখচিত্রটি x - অক্ষকে যেখানে যেখানে ছেদ করে সেই বিন্দুগুলো x - এর মান নির্ধারণ করে।
উদাহরণ:
ধরা যাক আমাদের সমীকরণটি হলো x2 - 4x + 3 = 0
1. দ্বিঘাত ফাংশন:
y = x2 - 4x + 3
2. লেখচিত্র আঁকা:
এই ফাংশনের লেখচিত্র একটি পরাবৃত্ত।
y - এর মান নির্ধারণ করতে x - এর বিভিন্ন মান দিয়ে y বের করতে হবে এবং সেই মানগুলিকে ব্যবহার করে লেখচিত্র আঁকতে হবে।
3. অক্ষ ছেদ বিন্দু নির্ধারণ:
এই ফাংশনের লেখচিত্র x - অক্ষকে যেখানেই ছেদ করবে সেই বিন্দুগুলোই আমাদের সমাধান।
x2 - 4x + 3 = 0 ফাংশনের লেখচিত্রটি x - অক্ষকে x = 1 এবং x = 3 বিন্দুতে ছেদ করবে।
বিশ্লেষণ:
x = 1 এবং x = 3 হলো আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।
লেখচিত্রের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সুবিধা:
1. দৃশ্যমান সমাধান:
লেখচিত্রের মাধ্যমে আমরা সমাধানগুলিকে সহজে চাক্ষুষ করতে পারি।
2. মুলগুলির প্রকৃতি নির্ধারণ:
লেখচিত্র বা গ্রাফ দেখে বোঝা যায় সমীকরণটির কতগুলি বাস্তব সমাধান আছে এবং সেগুলি সমান না ভিন্ন।
No comments:
Post a Comment